Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

87and where thirdly (we are nearly the end of the proof):(5.20)m∑ m∑ m∑ ∣ ∣ y l 1x y l 2x yx l ∣∣ ∣∣Y X y · kl y 1| · · · |j Y ky l 1y | · · · |Y k ∣∣ ∣∣ l 2 y − m3III :=l 1 =1 l 2 =1 l=0−−−−−−−m∑m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1y l 1x y l 2x X y 1 ·∣ ∣∣Yx k | · · · |j Y ky l 1y | · · · |Y k ∣∣ ∣∣ l 2 y − my l 1x y l 2x y 1 x X y 1 · ∣ ∣∣∣ ∣∣Y ky 1| · · · |j Y ky l 1y l 2 | · · · |Y ky m ∣ ∣∣∣ ∣∣3−y l 1x y l 2x y j x X y 1 ·∣ ∣∣Y ky j| · · · |j Y ky l 1y l 2| · · · |Yy k ∣∣ ∣∣ − · · · −my l 1x y l 2x X y l 1y l 2 · ∣∣ ∣ ∣ Yky 1| · · · |j Y kx | · · · |Y ky m ∣ ∣∣ ∣ −y l 1x y l 2x yx j X y l 1y l 2 · ∣∣ ∣ Yky 1| · · · ∣ |j Y k kj| · · · |Y ∣y − · · · −my l 1x y l 2x X y m ·∣∣∣Y ky 1| · · · |j Y ky l 1y l 2| · · · |Yxk∣ −y l 1x y l 2x y m x X y m · ∣ ∣∣∣ ∣∣Y ky 1| · · · |j Y ky l 1y l 2 | · · · |Y ky m ∣ ∣∣∣ ∣∣3−y−m∑l 1 =1m∑l 2 =1y l 1x y l 2x y j x X y m · ∣ ∣∣∣ ∣∣Y ky 1| · · · |j Y ky l 1y l 2 | · · · |Y ky j ∣ ∣∣∣ ∣∣ .Now, we explain the annihilation of the underlined terms. Consider I: in thefirst sum ∑ ml=0, all the terms except only the two corresponding to l = 0and to l = j are annihilated by the other terms with 1 appended: indeed,one must take account of the fact that in the expression of I, we have twosums represented by some cdots, the nature of which was defined withoutambiguity in the passage from (5.15) to (5.16).