Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

(8.80) ⎧Y 1,1,1 = Y x 1 x 1 x 1 + [ ]3 Y x 1 x 1 y − X 1x 1 x 1 x 1 y1 + [ ]− X 2x 1 x 1 x 1 y2 ++ [ ]3 Y x 1 yy − 3 X 1x 1 x 1 y (y1 ) 2 + [ − 3 X 2x 1 x y] 1 y1 y 2 ++ [ ]Y yyy − 3 Xx 1 1 yy (y1 ) 3 + [ − 3 Xx yy] 2 1 (y1 ) 2 y 2 ++ [ ]− Xyyy1 (y1 ) 4 + [ − Xyyy] 2 (y1 ) 3 y 2 +⎪⎨ + [ ]3 Y x 1 y − 3 X 1x 1 x 1 y1,1 + [ ]− 3 X 2x 1 x 1 y1,2 ++ [ ]3 Y yy − 9 X 1x 1 y y1 y 1,1 + [ − 3 X 2x y] 1 y2 y 1,1 ++ [ ]− 6 X 2x 1 y y1 y 1,2 + [ ]− 6 Xyy1 (y1 ) 2 y 1,1 + [ − 3 Xyy] 2 y1 y 2 y 1,1 ++ [ ]− 3 Xyy2 (y1 ) 2 y 1,2 + [ ]− 3 Xy1 (y1,1 ) 2 + [ ]− 3 Xy2 y1,1 y 1,2 ++ [ ]Y y − 3 X 1x⎪⎩1 y1,1,1 + [ ]− 3 X 2x 1 y1,1,2 + [ ]− 4 Xy1 y1 y 1,1,1 ++ [ ]− Xy2 y2 y 1,1,1 + [ ]− 3 X 2 y1 y 1,1,2 .y281Inserting Y 2 , Y 1,2 , Y 1,1,1 , Y 1 , Y 1,1 in the three Lie equations (8.73), (8.74),(8.75), replacing y 2 , y 1,2 , y 1,1,1 by the values they have on ∆ E5 , we get firstlyfive linear PDEs by picking the coefficients of cst., of y 1 , of (y 1 ) 2 , of (y 1 ) 3 ,of (y 1 ) 4 in (8.73):(8.81) ⎧0 = Y x 2,⎪⎩0 = X 1x 2 + 1 2 Y x 1,⎪⎨ 0 = Y y + X 2x − 2 X 1 2 x + r Y 1 x 1 + s∗ Y x 1 x 1,0 = 2 Xy 1 + X 2x + r X 1 + r X 2 + r Y 1 x 1 + r Y y + r X 1x 1++ r Y x 1 x 1 + s∗ Y x 1 y + s ∗ X 1x 1 x 1,0 = Xy 2 + r X 1 + r X 2 + r Y x 1 + r Y y + r X 1x + r X 2 1 x + r X 1 1 y ++ r Y x 1 x 1 + r Y x 1 y + r X 1x 1 x 1 + s∗ X 2x 1 x 1 + s∗ Y yy + s ∗ X 1x 1 y ,secondly, we get three more linear PDEs by picking the coefficients of (y 1 ) 2 ,of (y 1 ) 3 , of (y 1 ) 4 in (8.74):(8.82) ⎧0 = 3 Y x 1 y + X 2x 1 x + 4 X 1 2 x 2 y − 2 X 1x 1 x + r X 1 + r X 2 + r Y 1 x 1 + r Y x 1 x 1,⎪⎨0 = 2 Y yy + 2 X 2x 2 y − 6 X 1x 1 y − X 2x 1 x + r X 1 + r X 2 + r Y 1 x 1 + r Y y + r X 1x 1++ r Y x 1 x 1 + r Y x 1 y + r X 1x 1 x 1,0 = 4 Xyy 1 + 3 X 2x 1 y + r X 1 + r X 2 + r Y x 1 + r Y y + r X 1x + r X 2 1 x + r X 1 1 y +⎪⎩+ r Y x 1 x 1 + r Y x 1 y + r X 1x 1 x 1 + r X 2x 1 x 1 + r Y yy + r X 1x 1 y .