Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

38we may rewrite (3.53) as follows(3.55)⎧ ( ) ( )□ j − □ j =y l 1y l 2y l 3 y l 1y l 3y l 2⎡∆ ( y 0 y l 3| · · · | j y j | · · · |y m) · ∆ ( y 0 | · · · | j y l 1y l 2| · · · |y m) ⎤−= 1− ∆ ( y l 1y l 2| · · · | j y j | · · · |y m) · ∆ ( y 0 | · · · | j y 0 y l 3| · · · |y m) ++ · · ·+[∆] 2 ⎢⎣ + ∆ ( y 0 | · · · | j y l 1y l 2| · · · |y m) · ∆ ( −y 0 | · · · | j y j | · · · |y l 3y m) −⎥− ∆ ( y 0 | · · · | j y l 3y m | · · · |y m) · ∆ ( y 0 | · · · | j y j | · · · |y l 1y ) ⎦l 2⎪⎨m∑− □ j y l 1y l 2 □k y l 3y− k⎪⎩k=0⎡∆ ( y 0 y l 2| · · · | j y j | · · · |y m) · ∆ ( y 0 | · · · | j y l 1y l 3| · · · |y m) ⎤−− 1− ∆ ( y l 1y l 3| · · · | j y j | · · · |y m) · ∆ ( y 0 | · · · | j y 0 y l 2| · · · |y m) ++ · · ·+[∆] 2 ⎢⎣ + ∆ ( y 0 | · · · | j y l 1y l 3| · · · |y m) · ∆ ( +y 0 | · · · | j y j | · · · |y l 2y m) −⎥− ∆ ( y 0 | · · · | j y l 2y m | · · · |y m) · ∆ ( y 0 | · · · | j y j | · · · |y l 1y ) ⎦l 3m∑+ □ j y l 1y l 3 □k y l 2y. kk=0Notice that two pairs of “cdots” terms + · · ·+ appearing in the lines 3,4 and 8, 9 of (3.53) are replaced by a single “cdots” term + · · ·+ in thelines 4 and 9 of (3.55). Importantly, we point that in the “middle” of the two“cdots” terms + · · ·+ appearing in the lines 4 and 10 of (3.55) just above,there are two terms which do not occur: they simply correspond to the twounderlined terms having a appended appearing in the lines 4 and 9 (3.53).