Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

79= − X xx Yx j + Y jm∑+++++l 1 =1m∑y l 1x ·m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1 l 3 =1m∑l 1 =1m∑y l 1xx ·m∑l 1 =1 l 2 =1xx X x +[−2 X xy l 1 Yx j + 2 Y j X xy l 1 x−]−X xx Y j + Y jy l 1 xx X y l 1 +[y l 1x y l 2x · −X y l 1y l 2 Yx j + Y jy l 1y X l 2 x−m∑]−2 X xy l 2 Y j + 2 Y j X y l 1 xy l 2 y l 1 +[y l 1x y l 2x y l 3x · −X y l 2y l 3 Y j + Y jy l 1 y l 2y X l 3 y l 1[−X y l 1 Y jx + Y jy l 1 X x]+[]y l 1xx y l 2x · −X y l 1 Y j + Y j X y l 2 y l 1 y l 2 .]+The goal is to show that after solving these m equations for j = 1, . . .,mwith respect to the yxx l , l = 1, . . .,m, one obtains the expression (3.33) ofLemma 3.32, or equivalently, using the ∆ notation instead of the squarenotation, one obtains(5.4)⎧0 = yxx j · ∆ ( x|y 1 | · · · |y m) + ∆ ( x|y 1 | · · · | j xx| · · · |y m) +m∑+ y l 1x · [2∆ ( x|y 1 | · · · | j xy l 1| · · · |y m) −⎪⎨⎪⎩++l 1 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1 l 3 =1−δ j l 1∆ ( xx|y 1 | · · · |y m)] +y l 1x y l 2x · [∆ ( x|y 1 | · · · | j y l 1y l 2| · · · |y m) −m∑−2 δ j l 1∆ ( xy l 2|y 1 | · · · |y m)] +y l 1x y l 2x y l 3x[−δjl 1∆ ( y l 2y l 3|y 1 | · · · |y m)] .Unfortunately, the equations (5.3) are not solved with respect to the yxx,jbecause in its last line, we notice that the y l 2 xx are mixed with the y l 1 x . Consequently,we have to solve a linear system of m equations with the unknowns