Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

318For the pleasure, we obtain:(2.29)⎧Y 6 = Y x 6 + [ 6Y x 5 y − X x 6]y1 + [ 15Y x 4 y 2 − 6X x y] 5 (y1 ) 2 ++ [ 20Y x 3 y 3 − 15X ]x 4 y 2 (y1 ) 3 + [ 15Y x 2 y 4 − 20X ]x 3 y 3 (y1 ) 4 ++ [ ]6Y xy 5 − 15X x 2 y 4 (y1 ) 5 + [ Y y 6 − 6X xy 5](y1 ) 6 + [ −X y 6](y1 ) 7 ++ [ 15Y x 4 y − 6X x 5]y2 + [ 60Y x 3 y 2 − 45X x y] 4 y1 y 2 ++ [ 90Y x 2 y 3 − 120X ]x 3 y 2 (y1 ) 2 y 2 + [ ]60Y xy 4 − 150X x 2 y 3 (y1 ) 3 y 2 ++ [ 15Y y 5 − 90X xy 4](y1 ) 4 y 2 + [ −21X y 5](y1 ) 5 y 2 ++ [ 45Y x 2 y 2 − 60X x y] 3 (y2 ) 2 + [ ]90Y xy 3 − 225X x 2 y 2 y1 (y 2 ) 2 ++ [ 45Y y 4 − 270X xy 3](y1 ) 2 (y 2 ) 2 + [ −210X y 4](y1 ) 3 (y 2 ) 2 ++ [ 15Y y 3 − 90X xy 2](y2 ) 3 + [ −105X y 3]y1 (y 2 ) 3 +⎪⎨ + [ 20Y x 3 y − 15X x 4]y3 + [ 60Y x 2 y 2 − 80X x y] 3 y1 y 3 ++ [ ]60Y xy 3 − 150X x 2 y 2 (y1 ) 2 y 3 + [ 20Y y 4 − 120X xy 3](y1 ) 3 y 3 ++ [ −35X y 4](y1 ) 4 y 3 + [ 60Y xy 2 − 150X x y] 2 y2 y 3 ++ [ 60Y y 3 − 360X xy 2]y1 y 2 y 3 + [ −210X y 3](y1 ) 2 y 2 y 3 ++ [ −105X y 2](y2 ) 2 y 3 + [ ]10Y y 2 − 60X xy (y3 ) 2 ++ [ −70X y 2]y1 (y 3 ) 2 + [ 15Y x 2 y − 20X x 3]y4 ++ [ 30Y xy 2 − 75X x y] 2 y1 y 4 + [ 15Y y 3 − 90X xy 2](y1 ) 2 y 4 ++ [ −35X y 3](y1 ) 3 y 4 + [ ]15Y y 2 − 90X xy y2 y 4 ++ [ −105X y 2]y1 y 2 y 4 + [−35X y ]y 3 y 4 + [6Y xy − 15X x 2]y 5 ++ [ ]6Y y 2 − 36X xy y1 y 5 + [ −21X y 2](y1 )⎪⎩2 y 5 + [−21X y ]y 2 y 5 ++ [Y y − 6X y ]y 6 + [−7X y ] y 1 y 6 .2.30. Deduction of the classical Faà di Bruno formula. Let x, y ∈ K andlet g = g(x), f = f(y) be two C ∞ -smooth functions K → K. Considerthe composition h := f ◦ g, namely h(x) = f(g(x)). For λ ∈ N withλ 1, simply denote by g λ the λ-th derivative dλ gdx λ and similarly for h λ .Also, abbreviate f λ := dλ fdy λ .