Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

84once. In addition, for each of the obtained determinant, the factor [DX] m−1appears (sometimes even the factor [DX] m ), so that this factor compensatesthe factor [DX] m−1 in the numerator. In sum, the continuation of the hugecomputation yields:(5.16)⎡DX · ∣∣ ∣ Yky 1| · · · |j Yxx k | · · · |Y ∣ y k∣ − myxx j = − ∆·1 ⎢⎣− X y 1 · ∣∣ ∣ ∣ DY k | · · · | j Yxx| k · · · |Yy k∣ − · · · −m− X xx · ∣∣ ∣ Yky 1| · · · ∣ |j DY k | · · · |Yy k∣ − · · · −m− X y m · ∣∣ ∣ Yky 1| · · · |j Yxx k | · · · |DY k∣ ∣ ∣ +m∑+ 2 y l 1∣ ∣x DX ·∣Y ky 1| · · · |j Y kxy | · · · |Y k ∣∣ ∣∣ l 1 y −m l 1 =1m∑∣ − 2 y l 1∣x X y 1 ·∣DY k | · · · | j Y kxy l 1| · · · |Yy k ∣∣ ∣∣ − · · · −m l 1 =1m∑− 2 y l 1x X xy l 1 · ∣∣ ∣ Yky 1| · · · ∣ |j DY k | · · · |Yy k∣ − · · · −m l 1 =1m∑∣ .− 2 y l 1∣x X y m ·∣Y ky 1| · · · |j Y kxy l 1| · · · |DY k ∣∣ ∣∣+l 1 =1m∑ m∑+ y l 1x y l 2∣ ∣x DX · ∣∣Y ky 1| · · · |j Y ky l 1y l 2| · · · |Yy k ∣∣ ∣∣ −m l 1 =1 l 2 =1m∑ m∑− y l 1x y l 2∣ ∣x X y 1 · ∣∣DY k | · · · | j Y ky l 1y | · · · |Y k ∣∣ ∣∣ l 2 y − · · · −m l 1 =1 l 2 =1m∑ m∑− y l 1x y l 2x X y l 1y l 2 · ∣∣ ∣ Yky 1| · · · ∣ |j DY k | · · · |Yy k− · · · −m l 1 =1 l 2 =1m∑ m∑− y l 1x y l 2∣ ⎥∣x X y m · ∣∣Y ky 1| · · · |j Y ky l 1y l 2| · · · |DY k ∣∣ ∣∣ ⎦l 1 =1 l 2 =1⎤To establish the desired expression (5.4), we must develope all the total differentiationoperators D of the terms DX placed as factor and of the termsDY k placed in various columns of determinants. We notice that in developingDY k , we obtain columns Y ky(multiplied by the factor y l l x ) and for onlythree (or two) values of l = 0, 1, . . ., m, this column does not already appearin the corresponding determinant, so that (m − 1) determinants vanish andonly 3 (or 2) remain nonzero. Taking account of these simplifications, we