Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

280and thirdly, computing mod [ (y 1 ) 3 , (y 1,1 ) 2] :(8.75)0 ≡ −Y 1,1,1 + y 1,1 X 1 + y 1,1 X 2 ++ y 1,1 y 1 X 1 + y 1,1 y 1 X 2 + y 1,1 (y 1 ) 2 X 1 + y 1,1 (y 1 ) 2 X 2 ++ Y 1[(y1 ) 2 r ] + Y 1,1[r + y1 r + (y 1 ) 2 r ] + y 1,1 Y 1[r + y1 r + (y 1 ) 2 r ] ++ y 1,1 Y 1,1[r + y1 r + (y 1 ) 2 r ] .Specializing to n = 2 the formulas (3.9)(II), (3.20)(II) and (3.24)(II), we getY 1 , Y 2 , Y 1,1 , Y 1,2 and Y 1,1,1 :(8.76)Y 1 = Y x 1 + [ ]Y y −X 1x 1 y1 + [ ]−X 2x 1 y2 + [ ]−Xy1 (y1 ) 2 + [ ]−Xy2 y1 y 2 .(8.77)Y 2 = Y x 2 + [ ]− Xx 1 2 y1 + [ ]Y y − Xx 2 2 y2 + [ ]−Xy1 y1 y 2 + [ ]−Xy2 y2 y 2 .(8.78) ⎧Y 1,1 = Y x 1 x 1⎪⎨+ [ ]2 Y x 1 y − X 1x 1 x 1 y1 + [ ]− X 2x 1 x 1 y2 + [ Y yy − 2 X 1x y] 1 (y1 ) 2 ++ [ ]− 2 X 2x 1 y y1 y 2 + [ ]− Xyy1 (y1 ) 3 + [ − Xyy] 2 (y1 ) 2 y 2 ++ [ ]Y y − 2 X 1x⎪⎩1 y1,1 + [ ]− 2 X 2x 1 y1,2 + [ ]− 3 Xy1 y1 y 1,1 ++ [ ]− Xy2 y2 y 1,1 + [ ]− 2 X 2 y1 y 1,2 .y(8.79) ⎧Y 1,2 = Y x 1 x 2 + [ ]Y x 2 y − X 1x 1 x 2 y1 + [ ]Y x 1 y − X 2x 1 x 2 y2 +⎪⎨+ [ ]− X 1x 2 y (y1 ) 2 + [ Y yy − X 2x 2 y − X ] 1x 1 y y1 y 2 + [ − X 2x y] 1 y2 y 2 ++ [ ]− Xyy1 (y1 ) 2 y 2 + [ − Xyy] 2 y1 (y 2 ) 2 ++ [ ]− X 1x⎪⎩2 y1,1 + [ Y y − X 2x − X ] 1 2 x 1 y1,2 + [ ]− X 2x 1 y2,2 ++ [ ]− 2 Xy1 y1 y 1,2 + [ ]− 2 Xy2 y2 y 1,2 .