Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

88Similar simplifications occur for II and for III. Consequently, we obtainfirstly:(5.21) I :=X x · ∣∣ ∣ ∣ Yky 1| · · · |j Y kxx | · · · |Y ky m ∣ ∣ ∣ ∣ ++ y j x X y j · ∣∣ ∣ ∣ Yky 1| · · · |j Y kxx | · · · |Y ky m ∣ ∣∣ ∣ −− X y 1 · ∣∣ ∣ ∣ Ykx | · · · | j Y kxx| · · · |Y ky m ∣ ∣ ∣ ∣ −− yx j X y j · ∣∣ ∣ Yky j| · · · |j Yxx k | · · · |Y ∣ y k∣ − · · · −m− X xx · ∣∣ ∣ ∣Y ky 1| · · · |j Yx k | · · · |Y ∣ y k− m− yx j X xx · ∣∣ ∣ Yky 1| · · · ∣ |j Y k kyj| · · · |Y y − · · · −m− X y m · ∣∣ ∣ Yky 1| · · · |j Yxx k | · · · |Y xk ∣ −− y j x X y m · ∣∣ ∣ ∣ Yky 1| · · · |j Y kxx | · · · |Y ky j ∣ ∣ ∣ ∣ ;just above, the first two lines consist of the two terms in the sum underlinedat the first line of (5.18) which are not annihilated; secondly we obtain:(5.22) II :=2m∑l 1 =1+ 2− 2− 2− 2− 2− 2− 2y l 1x X x ·m∑l 1 =1m∑l 1 =1m∑l 1 =1m∑l 1 =1m∑l 1 =1m∑l 1 =1m∑l 1 =1∣ ∣∣Y ky 1| · · · |j Y kxy | · · · |Y k ∣∣ ∣∣ l 1 y + my l 1x y j x X y j · ∣ ∣∣∣ ∣∣Y ky 1| · · · |j Y kxy l 1 | · · · |Y ky m ∣ ∣∣∣ ∣∣ −y l 1x X y 1 ·y l 1x y j x X y 1 ·∣ ∣∣Yx k | · · · |j Y kxy | · · · |Y k ∣∣ ∣∣ l 1 y − m∣ ∣∣Y ky j| · · · |j Y kxy l 1| · · · |Yy k ∣∣ ∣∣ − · · · −my l 1x X xy l 1 · ∣∣ ∣ ∣ Yky 1| · · · |j Y kx | · · · |Y ky m ∣ ∣ ∣ ∣ −y l 1x y j x X xy l 1 · ∣∣ ∣ ∣ Yky 1| · · · |j Y kx | · · · |Y ky m ∣ ∣∣ ∣ − · · · −y l 1x X y m ·∣∣Y ky 1| · · · |j Y kxy l 1| · · · |Yxk∣ −y l 1x y j x X y m · ∣ ∣∣∣ ∣∣Y ky 1| · · · |j Y kxy l 1 | · · · |Y ky j ∣ ∣∣∣ ∣∣;similarly, the first two lines above consist of the two terms in the sum underlinedat the first line of (5.19) which are not annihilated; and thirdly we