Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

often be denoted by the sign “·”, for clarity. Here is the computation:(3.53) ⎧ ( ) ( )□ j − □ j =y l 1y l 2y l 3 y l 1y l 3y l 2(= ∂(∆ y 0 | · · · | j y l 1y l 2| · · · |y m) ) (−∂(∆ y 0 | · · · | j y l 1y l 3| · · · |y m) )∂y l 3∆ (y 0 | · · · |y m ) ∂y l 2∆ (y 0 | · · · |y m )⎡∆ ( y 0 y l 3| · · · | j y l 1y l 2| · · · |y m) ⎤· ∆ + · · ·+⎪⎨ = 1+ ∆ ( y 0 | · · · | j y l 3y l 1y l 2| · · · |y m) · ∆ + · · ·+a [∆] 2 + ∆ ( y 0 | · · · | j y l 1y l 2| · · · |y l 3y m) · ∆−⎢⎣ − ∆ ( y 0 | · · · | j y l 1y l 2| · · · |y m) · [∆ ( −y 0 y l 3| · · · |y m) + · · ·+ ⎥+∆ ( y 0 | · · · |y l 3y m)] ⎦⎡∆ ( y 0 y l 2| · · · | j y l 1y l 3| · · · |y m) ⎤· ∆ + · · ·+− 1+ ∆ ( y 0 | · · · | j y l 2y l 1y l 3| · · · |y m) · ∆ + · · ·+a [∆] 2 + ∆ ( y 0 | · · · | j y l 1y l 3| · · · |y l 2y m) · ∆−⎢⎣ − ∆ ( y 0 | · · · | j y l 1y l 3| · · · |y m) · [∆ ( .y 0 y l 2| · · · |y m) + · · ·+ ⎥⎪⎩+∆ ( y 0 | · · · |y l 2y m)] ⎦37Crucially, we observe that all the determinants involving a third order derivativeupon one of their columns kill each other and disappear: we haveunderlined them with a appended. However, it still remains plenty of determinantsinvolving a second order derivative upon two different columns.We must transform all of them and express them in terms of determinantsinvolving a second order derivative upon only one column. To this aim, as anapplication of our preliminary Lemma 3.45, we have the following relations,valid for j 1 , j 2 , l 1 , l 2 , l 3 , l 4 = 0, . . ., m and j 1 < j 2 :(3.54)⎧∆ ( y ⎪⎨0 | · · · | j 1y l 1y l 2| · · · | j 2y l 3y l 4| · · · |y m) · ∆ ( y 0 | · · · | j 1y j 1| · · · | j 2y j 2| · · · |y m) == ∆ ( y 0 | · · · | j 1y l 1y l 2| · · · | j 2y j 2| · · · |y m) · ∆ ( y 0 | · · · | j 1y j 1| · · · | j 2y l 3y l 4| · · · |y m)⎪⎩− ∆ ( y 0 | · · · | j 1y l 3y l 4| · · · | j 2y j 2| · · · |y m) · ∆ ( y 0 | · · · | j 1y j 1| · · · | j 2y l 1y l 2| · · · |y m) .With these formulas, we may transform the lines number 3, 4, 5 and 8, 9, 10of (3.53). Also, we observe that the lines 6, 7 and 11, 12 of (3.53) involvedeterminants having a single second order derivative. Taking account of the1[∆] 2 factor, we deduce that the lines 6, 7 and 11, 12 of (3.53) may already beexpressed as sums of square functions. Achieving all these transformations,