Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

89obtain:(5.23)III :=m∑m∑l 1 =1 l 2 =1+−−−−m∑l 1 =1 l 2 =1m∑y l 1x y l 2x X x ·m∑m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1∣ ∣∣∣Y ky 1| · · · |j Y ky l 1y | · · · |Y k ∣∣ ∣∣+l 2 y my l 1x y l 2x y j x X y j · ∣ ∣∣∣ ∣∣Y ky 1| · · · |j Y ky l 1y l 2 | · · · |Y ky m ∣ ∣∣∣ ∣∣ −y l 1x y l 2x X y 1 ·y l 1x y l 2x y j x X y 1 ·∣ ∣∣Yx k | · · · |j Y ky l 1y | · · · |Y k ∣∣ ∣∣ l 2 y − m∣ ∣∣Y ky j| · · · |j Y ky l 1y l 2| · · · |Yy k ∣∣ ∣∣ − · · · −my l 1x y l 2x X y l 1y l 2 · ∣∣ ∣ ∣ Yky 1| · · · |j Y kx | · · · |Y ky m ∣ ∣ ∣ ∣ −y l 1x y l 2x yx j X y l 1y l 2 · ∣∣ ∣ Yky 1| · · · ∣ |j Y k kj| · · · |Y ∣y − · · · −my−−m∑m∑l 1 =1 l 2 =1m∑m∑l 1 =1 l 2 =1y l 1x y l 2x X y m ·y l 1x y l 2x y j x X y m ·∣∣∣Y ky 1| · · · |j Y ky l 1y | · · · |Y kl 2 x∣ −∣ ∣∣∣Y ky 1| · · · |j Y ky l 1y l 2| · · · |Y k ∣∣ ∣∣y . jCollecting the odd lines of (5.21), we obtain exactly (m + 1) terms whichcorrespond to the development of the determinant ∆(x| · · · | j xx| · · · |y m )along its first line, modulo permutations of columns of the associatedm × m minors; collecting the even lines of (5.21), we obtain exactly(m + 1) terms which correspond to the development of the determinant−y j x·∆(xx|y1 | · · · |y m ) along its first lines, modulo permutations of columnsof the associated m × m minors. Similar observations hold about II and III.