Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

324∑[−δk 1i 1X k 2yk 1 ,k 2∑ [−Xk 1x i 2k 1∑[−Xk 1yk 1]yk1 y k2 ,i 2≡ ∑[−δk 1i 1δ k 3i 2X k 2yk 1 ,k 2 ,k 3]yk1 ,i 1≡ ∑ k 1 ,k 2[−δk 2i 1X k 1x i 2]yk1 ,k 2,]yi2 y k1 ,i 1= ∑ [−Xk 2]y yi2 y k2 ,i 1k 2≡]yk1 y k2 ,k 3,∑ [−δk 1]i 2δ k 3i 1X k 2y yk1 y k2 ,k 3.k 1 ,k 2 ,k 3In the sequel, for products of Kronecker symbols, it will be convenient toadopt the following self-evident contracted notation:(3.16) δ k 1i 1δ k 2i 2≡ δ k 1,k 2i 1 , i 2; generally : δ k 1i 1δ k 2i 2 · · ·δ k λi λ≡ δ k 1,k 2 ,···,k λi 1 , i 2 , ···,i λ.Re-inserting plainly these eight summified terms (3.14), (3.15) in the lastexpression (3.10) of Y i1 ,i 2(lines 10, 11 and 12), we get:(3.17)Y i1 ,i 2= Y x i 1x i + ∑ ]2[δ k 11 i 1Y x i 2y − X k 1yx i 1x i 2 k1k 12+ ∑ ] [−δ k 1i 1X k 2yx i 2y k1 y k2 +k 1 ,k 23+ ∑ k 1[δ k 1i 2Y x i 1y]y k12+ ∑ ][δ k 1,k 2i 1 , i 2Y yy − δ k 2i 2X k 1yx i 1y k1 y k2 +k 1 ,k 23+ ∑ [ ]−δ k 1,k 3i 1 , i 2X k 2yy y k1 y k2 y k3k 1 ,k 2 ,k 34+ ∑ [−δ k 2,k 3i 1 , i 2X k 1yk 1 ,k 2 ,k 3+ ∑ ] [−δ k 2i 1X k 1yx i 2 k1 ,k 2k 1 ,k 25]y k1 y k2 ,k 36+ ∑ ][δ k 1,k 2i 1 , i 2Y y − δ k 2i 2X k 1yx i 1 k1 ,k 2+k 1 ,k 25+ ∑ [ ]−δ k 1,k 3i 1 , i 2X k 2y y k1 y k2 ,k 3+k 1 ,k 2 ,k 36+ ∑ [−δ k 1,k 3i 2 , i 1X k 2yk 1 ,k 2 ,k 3]y k1 y k2 ,k 3.6