Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

in (3.11). The second equation that we obtain, namely for y 2 xx, is as follows:27(3.15)∣ 0 = yxx 2 ·X x X y 1 X y 2 ∣∣∣∣∣ X x X y 1 X xxYx 1 Y 1yY 1∣1 y +2YYx 2 Y 2yY 2x 1 Y 1yY 1∣1 xx1 yY 22 x Y 2yY 2 ∣ +2 xx⎧ ∣ ∣⎫ ⎨ ∣∣∣∣∣ X x X y 1 X xy 1 ∣∣∣∣∣ ⎬+ yx 1 ·⎩ 2 Y x 1 Y 1yY 1 1 xy 1Yx 2 Y 2yY 2 ⎭ +1 xy⎧ ∣ 1 ∣ ∣⎫ ⎨ ∣∣∣∣∣ X x X y 1 X xy 2 ∣∣∣∣∣ + yx 2 ·⎩ 2 Y x 1 Y X xx X y 1 X y 2 ∣∣∣∣∣ ⎬ 1yY 1 1 xy −2Y 1Yx 2 Y 2yY 2xx Y 1yY 1∣1 y 21 xyY 22 xx Y 2yY 2 ⎭ +1 y 2⎧∣⎫ ⎨+ yx 1 y1 x ·X x X y 1 X y 1 y ∣∣∣∣∣ 1 ⎬ ⎩Yx 1 Y 1yY 1∣1 y 1 y 1Yx 2 Yy 2 Y 2 ⎭ +1 y 1 y⎧ ∣ 1 ∣ ∣⎫ ⎨ ∣∣∣∣∣ X x X y 1 X y 1 y ∣∣∣∣∣ 2+ yx 1 yx2 ⎩ 2 Y x 1 Y X xy 1 X y 1 X y 2 ∣∣∣∣∣ ⎬ 1yY 1 1 y 1 y − 22Y 1Yx 2 Y 2yY 2xyY 1∣1 yY 1 1 y 21 y 1 yY 22 xyY 2 1 yY 2 ⎭ +1 y⎧∣ 2 ∣⎫ ⎨X x X y 1 X y 2 y ∣∣∣∣∣ 2X xy 2 X y 1 X y 2 ∣∣∣∣∣ ⎬+ yx 2 yx 2 ·⎩Yx 1 Y 1yY 1∣1 y 2 y − 22Y 1Yx 2 Y 2yY 2xyY 1∣2 yY 1 1 y 21 y 2 yY 22 xyY 2 2 yY 2 ⎭ +1 y 2⎧ ∣⎨ ∣∣∣∣∣ X y 1 y 1 X y 1 X ∣⎫ ⎧ ∣y ∣∣∣∣∣ 2 ⎬ ⎨ ∣∣∣∣∣ X y 1+ yx 1 yx 1 yx 2 ·⎩ − Y 1y1y Y 1 1 yY 1y 2 X y 1 X ∣⎫ y ∣∣∣∣∣ 2 ⎬ 1 y 2Y 2y 1 yY 2 1 yY 2 ⎭ + y1 x yx 2 yx 2 ·⎩ −2 Y 1y1y Y 1 2 yY 1 1 y 21 yY 22 y 1 yY 2 2 yY 2 ⎭ +1 y⎧ ∣ 2⎨ ∣∣∣∣∣ X y 2 y 2 X y 1 X y 2+ yx 2 yx 2 yx 2 ·⎩ − Y 1y2y Y 1 2 yY 1 1 y 2Y 2y 2 yY 2 2 yY 2 1y 2 ∣ ∣∣∣∣∣⎫⎬⎭ .Importantly, the obtained formulas seem to be analogous to the formula(2.9), since we observe that the coefficients of the degree three polynomialin the y l x are modifications of the Jacobian determinant ∆(x|y1 |y 2 ).To describe the underlying combinatorics, let us observe that there existexactly six possible distinct second order derivatives: xx, xy 1 , xy 2 , y 1 y 1 ,y 1 y 2 and y 2 y 2 . There are also exactly three columns in the Jacobian determinant(3.2). By replacing each of the three columns of first order derivativesby a column of second order detivatives (leaving X, Y 1 and Y 2 unchanged),