Adaptative high-gain extended Kalman filter and applications

tel-00559107, version 1 - 24 Jan 2011
Nous définissons les matrices
et
⎛
1 0 · · · 0
⎜
∆ = ⎜
0
⎜
⎝ .
1
θ
. ..
. ..
. ..
.
0
0 · · · 0 1
θn−1 ⎞
⎟
⎠ ,
Qθ = θ∆ −1 Q∆ −1 ,
Rθ = θ −1 R.
Le filtre de Kalman étendu à grand gain adaptatif est le système:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dz
dt = A(u)z + b(z, u) − S−1C ′ R −1
dS
dt
θ (Cz − y(t))
= −(A(u)+b∗ (z, u)) ′ S − S(A (u)+b∗ (z, u)) + C ′ R −1
dθ
dt
θ C − SQθS
= F(θ, Id (t))
avec pour conditions initiales : z(0) ∈ χ, S(0) symétrique définie positive, et
θ(0) = 1. La fonction F constitue le mécanisme d’adaptation de l’observateur.
Nous la définissons par ses propriétés, récapitulées au Lemme V.
Id nous sert à estimer la qualité de l’estimation rendue par l’observateur. Cette
quantité est calculée comme suit:
pour une “longueur d’horizon” d>0, l’innovation est:
� t
Id (t) =
t−d
�y (t − d, x (t − d) , τ) − y (t − d, z (t − d) , τ)� 2 dτ (3)
où y (t0,x0, τ) est la sortie du système (1) au temps τ avec pour condition initiale
x (t0) =x0.
Par conséquent y (t − d, x (t − d) , τ) n’est autre que y(τ), la sortie du système
(1). Nous insistons sur le fait que y (t − d, z (t − d) , τ) n’est pas la sortie de
l’observateur.
L’importance de cette quantité est explicitée par le lemme suivant. Il apparaît
aussi dans la preuve de convergence du Théorème IV (voir la preuve du Théorème
36 au Chapitre 3) que ce résultat est la pierre angulaire du mécanisme d’adaptation.
Lemme II
Soient x0 1 ,x02 ∈ Rn , et u ∈ Uadm. y � 0,x0 1 , ·� et y � 0,x0 2 , ·� sont les trajectoires de
sortie du système (1) avec conditions initiales x0 1 et x02 , respectivement. Alors la
propriété suivante (dite “observabilité persistante”) est vraie :
∀d >0, ∃λ 0 d > 0 tel que ∀u ∈ L1 b (Uadm)
(2)