Adaptative high-gain extended Kalman filter and applications

tel-00559107, version 1 - 24 Jan 2011
Remarque III
�x 0
1 − x 0
2� 2 ≤ 1
λ 0 d
� d
�y � 0,x 0 1, τ � − y � 0,x 0 2, τ � � 2 dτ. (4)
0
1. Si l’on considère que x0 1 = z(t − d), et que x02 = x(t − d) alors le Lemme II
nous indique que :
�z(t − d) − x(t − d)� 2 ≤ 1
λ0 � t
�y (τ) − y (t − d, z (t − d) , τ)�
d t−d
2 dτ,
ou, de manière équivalente,
�z(t − d) − x(t − d)� 2 ≤ 1
λ0 Id(t).
d
c’est-à-dire que modulo la multiplication par un paramètre constant, l’innovation
au temps t est borne supérieure de l’erreur d’estimation au temps t − d.
2. L’innovation est définie de manière plus détaillée dans la Section 3.3 du
Chapitre 3. Son implémentation est explicitée au Chapitre 4.
Le théorème suivant est le résultat au coeur de cette thèse : le lemme précédent
le sert, les différentes applications et extensions en découlent.
Théorème IV
Pour tout temps arbitraire T ∗ > 0 et tout ε ∗ > 0, il existe 0 0, il existe une constante M(∆T ) telle que :
− pour tout θ1 > 1, et
− tout couple γ1 ≥ γ0 > 0,
il existe une fonction F (θ, I) de sorte que l’équation
˙θ = F (θ, I (t)) , (5)
où 1 ≤ θ (0) < 2θ1, et I (t) est une fonction positive et mesurable, a les propriétés
suivantes:
1. il existe une unique solution θ (t), vérifiant 1 ≤ θ (t) < 2θ1, pour tout t ≥ 0,
�
�
2. � F(θ,I)
�
�
� ≤ M,
θ 2
3. si I (t) ≥ γ1 pour t ∈ [τ,τ + ∆T ] alors θ (τ + ∆T ) ≥ θ1,
4. tant que I (t) ≤ γ0, θ (t) décroît vers 1.