4. Funciones y gráficas - aulAragon

Matemáticas y Tecnología 3º
5. Geometría
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4. 4. Figuras compuestas
A continuación tienes una serie de ejercicios donde practicar lo que has aprendido de
áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.
Ejemplos
Un recipiente cúbico de 20 cm de arista está lleno de agua. Se introduce en el una
bola de cristal de 10 cm de radio y luego se saca con cuidado. Calcula el volumen del
agua que se ha derramado y la altura que alcanza el agua que queda.
El volumen de agua derramada es igual al de la esfera:
V1 = 4 3 π · 103 = 4188,79 cm 3
El agua que queda al final es el volumen del cubo menos el
de la esfera:
V2 = 10 3 − 4188,79 = 3811,21 cm 3
El agua que queda forma un prisma cuadrangular cuyo
volumen es V2. Por tanto la altura de ese prisma es igual al
volumen dividido por el área de la base que es un cuadrado:
20 2 = 400 cm 2
Por tanto la altura del agua que queda es:
h = 3811,21 = 9,53 cm
400
Tenemos un vaso con forma cilíndrica de 8 cm de diámetro y 13 cm de altura, y una
copa con forma de tronco de cono de 10 cm de diámetro mayor, 6 cm de diámetro
menor y 13 cm de generatriz. ¿Cuál tiene más capacidad
V TRONCO DE CONO = V CONO GRANDE – V CONO PEQUEÑO
Calculamos la generatriz del cono pequeño (TS) teniendo en
cuenta que los triángulos TPS y TQR son semejantes:
TS
PS = TR
QR ↔ TS TS + 13
= ↔ TS = 19,5 cm
3 5
Y la generatriz del cono grande es 19,5+13 = 32,5 cm
Por el Teorema de Pitágoras las alturas de los conos son:
h1 2 = 32,5 2 − 5 2 = 1031,25 → h1 = 32,11 cm
h2 2 = 19,5 2 − 3 2 = 371,25 → h2 = 19,27 cm
Entonces el volumen del tronco de cono es:
V1 − V2 = π · 52 · 32,11
− π · 32 · 19,27
= 659,12 cm 3
3
3
Y el volumen del cilindro es V = π · 4 2 · 13 = 653,45 cm 3
Luego tienen prácticamente la misma capacidad.
Practica
35) Calcular el área total de un recipiente cilíndrico de 18 cm de altura y
radio de la base 4 cm, que se ha vaciado interiormente con una
forma cónica con la misma base y altura.
36) Calcula el volumen de los dos prismas en que queda dividido un
prisma triangular regular de altura 28 cm y arista de la base 20 cm,
al ser cortado por un plano perpendicular a las bases que pasa por el
punto medio de dos aristas.
37) ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar la pared exterior
de una torre de observación astronómica de forma cilíndrica, de
altura 10 m y radio 6 m, cubierta por una cúpula semiesférica del
mismo radio, si con un litro se pueden pintar 9 m 2
Comprueba
35. 734,37 cm 2
36. V 1 =1212,44 cm 3
V 2 =3637,31 cm 2
37. 60,32 l
MÓDULO III