4. Funciones y gráficas - aulAragon

8
1. Los números racionales
más...
Un poco de historia
Las fracciones ya se
comenzaron a utilizar en el
antiguo Egipto, aunque sólo
empleaban fracciones con
numerador 1 o unitarias, a
excepción de 2/3 y 3/4.
Se puede escribir cualquier
fracción positiva como suma
de fracciones unitarias,
como por ejemplo:
7
8 = 1 2 + 1 4 + 1 8
Una fracción de este tipo se
llama "fracción egipcia".
Los jeroglíficos utilizados por
los egipcios para escribir las
fracciones más frecuentes en
medidas agrarias eran parte
del "ojo de Horus".
1. Números racionales
Fracciones de números enteros
Los números naturales N = {0, 1, 2, 3, ...} y los enteros Z = { ... , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } sirven
para contar u ordenar elementos, pero para expresar medidas necesitamos en muchas
ocasiones fraccionar la unidad, así decimos "un cuarto de hora", "medio kg", "tres cuartos
de litro"... Estas medidas se expresan mediante fracciones.
1
4
1
2
3
4
Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros, a/b,
donde el dividendo es el numerador, a, y el divisor el denominador, b,
siendo b≠0.
Si el numerador es múltiplo de denominador, la fracción representa un número entero, y
cuando no lo es representa un número fraccionario.
El conjunto formado por todos los números enteros y todos los números fraccionarios es
el conjunto de los números racionales y se designa por Q. Los números racionales son los
que pueden ponerse en forma de fracción.
Fracciones equivalentes
Al dividir 3 entre 6 y -5 entre -10,
obtenemos el mismo resultado, por
tanto el valor numérico de las
fracciones 3/6 y -5/-10 es el mismo.
Son fracciones equivalentes y
representan el mismo número
racional.
Dos fracciones son equivalentes si tienen el mismo valor numérico. Observa que si dos
fracciones son equivalentes al multiplicarlas en cruz se obtiene el mismo resultado.
m.c.d.
El máximo común divisor
(m.c.d.) de dos o más
números es el mayor de los
números que son divisores
de todos ellos. Recuerda
cómo se calcula.
m.c.d. (90 , 72)
• Se descomponen en
factores primos:
90 = 2·3 2·5 72 = 2 3·3 2
• Se toman sólo los
factores comunes
elevados al menor
exponente.
m.c.d. (90 , 72) = 2·3 2 = 18
Si el m.c.d. de dos números
resulta 1, se dice que los
números son primos entre sí.
Ampliación y simplificación de fracciones
Al multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción por un mismo
número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente.
Esta propiedad permite simplificar o ampliar fracciones.
Para ampliar una fracción se
multiplica el numerador y el
denominador por el mismo
número.
Para simplificar una fracción se
divide el numerador y el
denominador por el mismo
número.
Cuando una fracción no se puede simplificar más, por ser numerador y denominador
primos entre sí, se dice que es irreducible
Para convertir una fracción en
irreducible se dividen
numerador y denominador por
el máximo común divisor
(m.c.d.) de ambos.
3
5 = 3 ∙ 5
5 ∙ 5 = 15
25
−5 −5 ∙ (−2)
=
4 4 ∙ (−2) = 10
−8
3
5 = 3 ∙ 5
5 ∙ 5 = 15
25
−5 −5 ∙ (−2)
=
4 4 ∙ (−2) = 10
−8
3
5 = 3 ∙ 5
5 ∙ 5 = 15
25
−5 −5 ∙ (−2)
=
4 4 ∙ (−2) = 10
−8
3
5 = 3 ∙ 4
5 ∙ 4 = 12
20
−5
4 = −5 ∙ 3
4 ∙ 3 = −15
12
3
5 = 3 ∙ 4
5 ∙ 4 = 12
20
−5
4 = −5 ∙ 3
4 ∙ 3 = −15
12
3
5 = 3 ∙ 4
5 ∙ 4 = 12
20
−5
4 = −5 ∙ 3
4 ∙ 3 = −15
12
MÓDULO III