Matemáticas para la Computación

Matemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de ValènciaPor último, sustituyendo en la ecuación de síntesis, obtenemos:f p (t) = 1 ∞4 + 2 ∑ 1∞∑2π 2 n 2 ((−1)n − 1) cos(2πnt) − 2n=1= 1 4 + ∞∑n=1n=1(−1) n2πn sin(2πnt)[ 1π 2 n 2 ((−1)n − 1) cos(2πnt) − (−1)nπn sin(2πnt) ]Caso B. Utilizando la forma compleja de los coeficientes de la trasnformadade Fourier:C n ==∫ T00f p (t)e −jωnt dt = 2∫ 1/2= − 2jω n[e−jω nt ] 1/20− 2j 2 ω 2 n0∫ 1te −jωnt dt +1/20e −jωnt dt ={ } [u = t; du = dtdv = e −jωnt dt; v = − 1jω ne −jωnt = 2 −t ] 1/2e −jωnt + 2 ∫ 1/2e −jωnt dt =jω n 0jω n 0[e−jω ] nt 1/2= 2j+ 2 [0 0 e−jω ] nt 1/2=0= 2jω n( 12 e−jωn/2 − 0e 0 )+ 2ω 2 n= (−1)n2πn j + 12π 2 n 2 ((−1)n − 1)[e−jω ] nt 1/2ω n(e −jωn/2 − e 0) =2jω 2 n2πn (1 2 e−jπn } {{ }) + 24π 2 n 2 ( e−jπn } {{ }−1) ==(−1) n =(−1) nTeniendo en cuenta que C n = a n + jb n , podemos escribir:a n = 12π 2 n 2 ((−1)n − 1) y b n = (−1)n2πnFinalmente, sustituyendo en la ecuación de síntesis real y teniendo en cuentaque a 0 = 1/4 como ya habíamos calculado, obtenemos:f p (t) = 1 ∞4 + 2 ∑ 1∞∑2π 2 n 2 ((−1)n − 1) cos(2πnt) − 2n=1= 1 4 + ∞∑n=1n=1(−1) n2πn sin(2πnt)[ 1π 2 n 2 ((−1)n − 1) cos(2πnt) − (−1)nπn sin(2πnt) ]Respuesta al Ejercicio 91108