Matemáticas para la Computación

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Matemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de ValènciaDe forma análoga, una cota para el error relativo es un valor ε r (x) que sabemosque es mayor que el módulo de dicho error|e r (x)| ≤ ε r (x)2.1.2. Propagación del errorSi un cálculo consiste en una sucesión de operaciones numéricas, cadaoperación trabajará con los resultados aproximados de la operación anterior.Por tanto, es muy importante conocer la manera en que el error de cadaoperación influye en el resultado final.Para ello disponemos de diferentes relaciones que permiten obtener unacota para el error del resultado de una operación, a partir de las cotas delerror de cada uno de los datos de entrada de la misma.ε a (x 1 + x 2 ) = ε a (x 1 ) + ε a (x 2 ) (2.1)ε a (x 1 − x 2 ) = ε a (x 1 ) + ε a (x 2 ) (2.2)ε r (x 1 x 2 ) = ε r (x 1 ) + ε r (x 2 ) (2.3)ε r ( x 1x 2) = ε r (x 1 ) + ε r (x 2 ) (2.4)En ralidad, los resultados anteriores pueden obtenerse a partir de la siguienteregla general para la acotación del error absoluto de una función den variables a partir de los errores absolutos de los datos de entrada.2.1.3. Error de una funciónEl error absoluto de una cantidad, y que es función de un conjunto devariables, x 1 , x 2 , . . . , x ny = f(x i , x 2 , . . . , x n )está acotado, en función del error absoluto de las variables ε a (x i ), por laexpresiónε a (y) ≤∣ ∣ ∣ n∑∂f ∣∣∣ ∣ ε a (x i ) =∂f ∣∣∣ ∂x i∣ ε a (x 1 ) + · · · +∂f ∣∣∣∂x 1∣ ε a (x n )∂x ni=112
2.2. EjerciciosMatemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de ValènciaEjercicio 5:En la siguiente tabla aparece una serie de medidas ¯x, junto con el valorexacto x. Calcular el error absoluto y el error relativo de cada una de ellas.¯x x e a e r3.5m 3.52m 3.5m - 3.52m = - 0.02m - 0.02m / 3.52m = - 0.0056813.5m 13.52m2345mm 2342mm2.345m 2m13568m 13560m13568m 13670mLa cuarta medición corresponde a la longitud de una pared, con el finde construir una estantería que la cubra. La quinta a la distancia entre dospoblaciones, con el fin de señalizar una carrera ciclista.¿En cuál de las dos mediciones es mayor el error absoluto (exprésalosambos en metros, para poder comparar) y el error relativo? ¿Cuál de las dosmediciones crees que es más (o menos) útil debido al error cometido?Ejercicio 6:Calcular las siguiente cotas de error:1. ε a (x 1 x 2 )2. ε a ( x 1x 2)3. ε a (ax 1 )4. ε a (ax 1 + bx 2 )5. ε a (sin(x 1 ))6. ε a ( ax3 1x 2 2+ x 2 )13
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