Matemáticas para la Computación

Matemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de Valènciariable t, que representa el tiempo, y la derivada de la función y ′ (t, y), querepresenta la tasa de variación de y en cada instante de tiempo t y para cadavalor de y.El objetivo es obtener numéricamente la evolución de y(t), t > 1, sabiendoque y(1) = 3. Para ello vamos a utilizar el método de Euler, con un paso deintegración de h = ∆t = 0,05.Para resolver numéricamente el problema, necesitaremos conocer el valorde y ′ (t, y) para cada instante de tiempo. Sin embargo, la expresión (10.1) nonos proporciona de forma explícita el valor de la derivada. Por lo tanto, paracada instante de tiempo t n , aplicaremos el método de Steffensen. Veamos deque manera podemos hacerlo.En cada instante de tiempo t n , para poder calcular y(t n+1 ) debemos conocery(t n ), para aplicar el método de Euler (en este caso, para iniciar elmétodo se nos indica que t 0 = 1 y que y(t 0 ) = 3). Si utilizamos la ecuacióndiferencial, sustituyendo los valores conocidos de t n e y(t n ), obtenemosy(t n ) − t n (y ′ (t n )) 2 = 2(1 + t 2 ny ′ (t n )) (10.2)En la ecuación (10.2), todos los valores son conocidos, salvo y ′ (t n ), porlo que podemos escribir una ecuación en la que la única variable es y ′ (t n ). Sioperamos para dejar todos los términos a la izquierda de la igualdad, y paraagrupar los coeficientes que afectan a la variable, obtenemos:o, lo que es lo mismodonde2 − y(t n ) + t 2 ny ′ (t n ) + t n (y ′ (t n )) 2 = 0 (10.3)F (y ′ (t n )) = A + By ′ (t n ) + Cy ′ (t n ) 2 = 0 (10.4)A = 2 − y(t n ); B = t 2 n; C = t nPor tanto, a cada paso de tiempo, será necesario en primer lugar obteneruna aproximación a y ′ (t n ), resolviendo la ecuación (10.4) por medio del métodode Steffensen, y una vez calculada esta aproximación, obtener el valorde y(t n+1 ), por medio del método de Euler:y(t n+1 ) = y(t n ) + h ∗ y ′ (t n )De esta manera, a cada paso de tiempo obtenemos un nuevo valor parala función y(t n ), lo que nos da una nueva función para aplicar el método deSteffensen.118