Matemáticas para la Computación

Matemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de ValènciaA partir de (7.8), integrando respecto a x, podemos obtener una expresiónpara F :∫ ∫∂F (x, y)F (x, y) =dx = M(x, y)dx = x 2 + 2xy 2 + ϕ(y) (7.11)∂xdonde ϕ(y) es la constante de integración, que puede depender de y.Por tanto, de (7.11) obtenemos que la función F (x, y) es de la formaF (x, y) = x 2 + 2xy 2 + ϕ(y) (7.12)Para averiguar la expresión de la función ϕ(y) calculamos la derivadaparcial de F (x, y) respecto de y∂F (x, y)∂y= 4xy + ϕ ′ (y)y utilizando (7.9), tenemos queN(x, y)dx = 4xy + 2y = 4xy + ϕ ′ (y)de donde obtenemos una ecuación diferencial para ϕ(y)ϕ ′ (y) = 2yque podemos resolver separando variables e integrandodϕdy= 2y ⇒ dϕ = 2ydy∫ ∫dϕ = 2ydyϕ(y) = y 2 + C 1Por lo tanto, a partir de (7.12) y de ϕ(y) tenemos queF (x, y) = x 2 + 2xy 2 + y 2 + C 1 (7.13)Por último, teniendo en cuenta que a partir de (7.10) y de la ecuacióndiferencial se cumple que dF (x, y) = 0, entonces la función F (x, y) debe serconstante, con lo que obtenemos queF (x, y) = x 2 + 2xy 2 + y 2 + C 1 = C 2 ,85