Matemáticas para la Computación

Matemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de ValènciaPodemos escribir la ecuación en la forma:de modo que:M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0M(x, y) = (y − x)N(x, y) = (y + x)Solución 1: Comprobamos que las funciones M(x, y) y N(x, y) sonhomogéneas de grado 1:M(λx, λy) = (λy − λx) = λ(y − x) = λ 1 M(x, y)N(λx, λy) = (λy + λx) = λ(y + x) = λ 1 N(x, y)Por lo que procedemos a hacer el cambio y = ux y dy = udx + xdu yobtenemos:(ux − x)dx + (ux + x)(udx + xdu) = 0;x(u − 1)dx + x(u + 1)(udx + xdu) = 0;x(u − 1)dx + xu(u + 1)dx + x 2 (u + 1)du = 0;x(u 2 + 2u − 1)dx + x 2 (u + 1)du = 0que es una ecuación de la forma F (x)G(u)dx + H(x)P (u)du = 0 (variablesseparables) con:F (x) = x; G(u) = u 2 + 2u − 1H(x) = x 2 ; P (u) = u + 1Para resolver la ecuación, dividimos por H(x)G(u) y separamos lasvariables:x(u 2 +2u−1)dx +x2 (u+1)du = 0;x 2 (u 2 +2u−1) x 2 (u 2 +2u−1)1dx + (u+1) du = 0;x (u 2 +2u−1)1dx = − (u+1) dux (u 2 +2u−1)e integrando:∫ 1 dx = − ∫x(u+1)(u 2 +2u−1) du;ln(x) = − 1 2(ln(u2 + 2u − 1) + ln(K);)ln(x) = ln K(u 2 + 2u − 1) − 1 2 ;Kx = √ ;u 2 +2u−1x 2 (u 2 + 2u − 1) = K 282