Matemáticas para la Computación

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Matemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de ValènciaRespuesta al Ejercicio 95Primero calculamos el coeficiente a 0 como:a 0 = ∫ T 0f0 p (t)dt = − ∫ 2π(t − 0 π)2 dt = − 1 [(t − 3 π)3 ] 2π0== − 1 ((2π − 3 π)3 − (0 − π) 3 ) = − 1 3 (π3 + π 3 ) = − 2 3 π3Ahora calculamos el término C n de acuerdo a la expresión:C n =∫ T00∫ 2πf p (t)e −iωnt dt = − (t − π) 2 e −iωnt dt0} {{ }(I)(9.3)Para resolver la integral (I) aplicaremos integración por partes ( ∫ budv =a[uv] b a − ∫ bvdu): a{ }u = (t − π) 2 ; du = 2(t − π)dt(I) =dv = e −iωnt ; v = − 1iω ne −iωnt =[ ] (t − π)2 2π ∫ 2π= e −iωnt + 2iωiω n(t − π)e −iωnt (9.4)dtn00} {{ } } {{ }(A)El término (A) es fácilmente calculable teniendo en cuenta que T 0 = 2π,ω 0 = T 0= 1, ω 2π n = nω 0 = n, por lo que sustituyendo:[ ] ()(t − π)2 2π( )(A) = e −int (2π − π) 2=e −i2πn (0 − π)2πin0in } {{ } − e 02in }{{} =in − π2= 0in=1=1Para resolver la integral (B) volvemos a aplicar integración por partes:{ }u = (t − π); du = dt[ ] 2π(B) =dv = e −iωnt ; v = − 1iω ne −iωnt = − (t−π)∫iω ne −iωnt + 1 2πiω0 ne −iωnt dt =0[ ] 2π ( ) 2= − (t−π)e −iωnt 1−iω n[e−iω nt ] 2π0iω n0Teniendo en cuenta de nuevo que en este caso ω n = n y sustituyendo, tenemos:[ ] 2π(B) = − (t−π)ine−int − ( )1 2in [e −int 2π0=[0]= − ( 2π−π)ine−i2πn } {{ } −( 0−π)in }{{}e0 − ( ])1 2[ein } −i2πn{{ } − }{{} e 0 ==1=1=1 =1= − [ ( π ) − ( −π)]− 0 = − 2πin in in114(B)
Matemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de ValènciaSustituyendo los valores de (A) y (B) en la equación 9.4, obtenemos:(I) = 0 +( ) ( 2− 2π )= − 4πin in i 2 n = 4π2 n 2en donde hemos tenido en cuenta que i 2 = −1. Finalmente tenemos:C n = 4πn 2Si ahora recordamos que C n = a n − ib n e identificamos, obtenemos:{an = 4πn 2b n = 0por lo que sustituyendo en la ecuación de síntesis tenemos:f p (t) = a 0T 0+ 2 T 0∞ ∑i=1a n cos(ω n t) = − 2/3π32π + 22π∞∑i=14πn 2 cos(nt) = −1 3 π2 + 4∞∑i=11n 2 cos(nt)Respuesta al Ejercicio 96Teniendo en cuenta que en este caso T 0 = 1, calculamos el coeficiente a 0comoa 0 ==∫ 10f p (t)dt =( ) 12 − 0 −∫ 120(1 − t)dt +( 1/42 − 0 2∫ 1120dt =)= 1 2 − 1 8 = 3 8∫ 120dt −∫ 120[tdt = [t] 1 2 t20 −2] 120=Ahora calculamos el término C n de acuerdo con la expresiónC n =∫ 10f p (t)e −iωnt dt =∫ 120(1 − t)e −iωnt dt +∫ 1120e −iωnt dt =∫ 12(1 − t)e −iωnt dt0} {{ }I115
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Índice general1. Problemas prelimi
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CAPÍTULO 1Problemas preliminares1.
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CAPÍTULO 2Problemas sobre cálculo
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2.2. EjerciciosMatemáticas para la
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CAPÍTULO 3Problemas de polinomios
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CAPÍTULO 5Problemas de cálculo de
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