Matemáticas para la Computación

Matemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de ValènciaRespuesta al Ejercicio 70Caso A. Considerando que se trata de una ecuación exacta o reducible aexacta. Reescribimos:dydx + 2y − e−x = 0; (2y − e −x )dx + dy = 0;Comprobemos si se trata de una exacta:}M(x, y) = 2y − e −x ∂M(x,y); = 2;∂y∂N(x,y)No!N(x, y) = 1;= 0;∂xVeamos ahora si existe un factor integrante h(x):por tanto:∂M(x,y)∂y− ∂N(x,y)∂xN(x, y= 2 − 01= 2h(x) = 2;µ(x) = e R h(x)dx = e 2 R dx = e 2xLa ecuación reducida a exacta queda como:que si es exacta:(2y − e −x )e 2 xdx + e 2x dy = 0M(x, y) = (2y − e −x )e 2x ;N(x, y) = e 2x ;}∂M(x,y)= 2e 2x ;∂ySi!∂N(x,y)= 2e 2x ;∂xAhora sólo queda resolver como una exacta:∫∫∫ ∫R(x, y) = M(x, y)dx = (2y − e −x )e 2x dx = 2y e 2x dx − e −x e 2x dx =∫ ∫= 2y e 2x dx − e x dx = 2y 1 2 e2x − e x = ye 2x − e x∫ []∂R(x, y)ϕ(y) = N(x, y) − dy =∂y∫ [= e 2x − ∂ ] ∫ [e∂y (ye2x − e x ) dy = 2x − e 2x] ∫dy = 0dy = C78