Matemáticas para la Computación

Matemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de ValènciaAhora sólo queda calcular los términos D(N, 0) para N = 1, 2, 3:D(1, 0) = ϕ( h 2 1 ) = p(x 0+h/2)−p(x 0 −h/2)2h/2== (1,61619798−1,61616673)0,05= 6,2500 · 10 −4D(2, 0) = ϕ( h 2 2 ) = p(x 0+h/4)−p(x 0 −h/4)2h/4== (1,61537241−1,61536850)0,05/2= 1,5625 · 10 −4D(3, 0) = ϕ( h 2 3 ) = p(x 0+h/8)−p(x 0 −h/8)2h/8== (1,61516772−1,615167230,05/4= 3,9200 · 10 −5Sustityendo valores en (6.2), obtenemos:{p(1 +1 √3 + 0,05p(1 + 1√3− 0,05{p(1 +1 √3 + 0,05p(1 + 1√3− 0,05{p(1 +1 √3 + 0,05p(1 + 1√3− 0,05) = 1,61619798}2 ) = 1,61616673 =2) = 1,61537241}4 ) = 1,61536850 =4) = 1,61516772}8 ) = 1,61516723 =8D(3, 1) = 4 3 D(3, 0) − 1 3 D(2, 0) = 4 3 (3,9063 · 10−3 ) − 1 3 (1,5625 · 10−4 ) = 1,8333 · 10 −7D(2, 1) = 4 3 D(2, 0) − 1 3 D(1, 0) = 4 3 (1,5625 · 10−4 ) − 1 3 (6,2500 · 10−4 ) = 0,0000Por último, sustituyendo en (6.1), obtenemos:D(3, 2) = 1615 D(3, 1)− 1 16D(2, 1) =15 15 (6,6667·10−10 )− 1 (0,000) = 1,9555 · 10−715Utilizando la expresión analítica para la derivada del polinomio p(x),obtenemos:p ′ (x) = 3x 2 − 6x + 2 (6.3)y sustityendo x 0 = 1 + 1 √3en la ecuación (6.3), obtenemos:p ′ (x 0 ) = 3(1 + √ 13) 2 − 6(1 + √ 13) + 2 = 3(1 + 1 + √ 23 3) − 6(1 + √ 13) + 2 == 3 + 3 + √ 63 3− 6 − √ 63+ 2 = 6 − 6 = 0Resultado del que se deduce que el término D(3, 2) de la extrapolación deRichardson con h = 0,05 proporciona una estimación de la derivada delpolinomio en el punto x 0 con un error ɛ < 10 −6 .Respuesta al Ejercicio 6161