Matemáticas para la Computación

Matemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de ValènciaRespuesta al Ejercicio 77La ecuación diferencial es lineal de cuarto orden, por lo que debemosencontrar, en primer lugar una solución para la ecuación homogénea, y acontinuación una solución particular de la no homogénea. La solución de laecuación será la suma de ambas.Para encontrar una solución para la ecuación homogénea, planteamosel polinomio característico de la ecuaciónp(t) = t 4 − 1que puede factorizarse como p(t) = (t 2 + 1)(t 2 − 1) = (x − 1)(x + 1)(x −i)(x + i) (ver punto (a) de la ayuda). Las raíces del polinomio serán,por tantoλ 1 = 1; λ 2 = −1; λ 3 = i; λ 4 = −iy la solución de la ecuación homogénea vendrá dada pory 0 = C 1 e x + C 2 e −x + C 3 cos x + C 4 sin xLa ecuación no homogénea debe tener una solución particular de laformaϕ(x) = e x (A cos x + B sin x)Para obtener los valores de A y B, derivaremos ϕ y los elegiremos deforma que se cumplaϕ (4) (x) − ϕ(x) = 2e x (cos x − sin x).Si calculamos la primera derivada, observamos queϕ ′ (x) = e x ((A + B) cos x + (B − A) sin x) ,fórmula que podemos aplicar para calcular las derivadas sucesivas:ϕ ′′ (x) = 2e x (B cos x − A sin x)ϕ ′′′ (x) = 2e x ((B − A) cos x − (A + B) sin x)ϕ (4) (x) = −4e x (A cos x + B sin x) = −4ϕ(x)88