Matemáticas para la Computación

Matemáticas para la computaciónDept. d’InformàticaProblemas Universitat de Valènciaexpresión de la que podemos obtener la solución para la ecuación diferencialy(x) = ±√K − x22x + 1en donde hemos hecho K = C 2 − C 1 .Si debe cumplirse que y(0) = 2, entonces, sutituyendo en (7.14),(7.14)√K − 0y(0) = ±0 + 1 = ±√ K = 2obtenemos que el signo de la raíz cuadrada debe ser positivo, y que el valorde K debe ser 4.Si por el contrario, y(0) = −2, entonces K = 4 igualmente, pero el signode la raíz cuadrada ha de ser negativo.Respuesta al Ejercicio 75Caso A. Considerando que se trata de una ecuación diferencial exacta oreducible a exacta.1. Primero la reescribimos en la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0:dyde donde:+ 2xy = dx 2xe−x2 ; = dx 2x(e−x2 − y);dy+ 2x(y − dx e−x2 ) = 0; 2x(y − e −x2 )dx + dy = 0M(x, y) = 2x(y − e −x2 ); N(x, y) = 12. Comprobamos si se trata de una ecuación diferencial exacta:}∂M(x,y)= 2x∂y∂N(x,y)No!= 0∂x3. Veamos si se trata de una ecuación reducible a exacta. Primerobuscaremos un factor integrante que sólo sea función e x:por tanto:h(x) =dy∂M(x, y)/∂y − ∂N(x, y)/∂xN(x, y)µ(x) = e R h(x)dx = e R 2xdx = e x2= 2x − 01= 2x86