Econometria - Damodar N. Gujarati (1)

156 Parte Uno Modelos de regresión uniecuacionales
var ( ˆβ ∗ 2 ) w 1
w 2
2
var ( ˆβ 2 ) (6.2.19)
r 2 xy r 2 x ∗ y ∗ (6.2.20)
De los resultados anteriores debe quedar claro que, con los resultados de regresión basados
en una escala de medición, se pueden obtener los resultados basados en otra, una vez que se conozcan
los factores de escala, w. En la práctica, sin embargo, se deben escoger las unidades de
medición en forma razonable; no tiene objeto manejar todos esos ceros al expresar números en
millones o en miles de millones de dólares.
De los resultados de (6.2.15) hasta (6.2.20) se derivan fácilmente algunos casos especiales.
Por ejemplo, si w 1 = w 2 , es decir, si son idénticos los factores de escala, el coeficiente de la pendiente
y su error estándar permanecen inalterados en el cambio de escala de (Y i , X i ) a (Yi ∗,
X∗ i ),
lo cual intuitivamente debería ser claro. Sin embargo, el intercepto y su error estándar están
multiplicados por w 1 . Si la escala X no se cambia (es decir, w 2 = 1), pero la escala Y se cambia
por el factor w 1 , el coeficiente de la pendiente, al igual que el intercepto y sus errores estándar
respectivos, se multiplican por el mismo factor w 1 . Por último, si la escala Y permanece inalterada
(es decir, w 1 = 1), pero la escala X se cambia por el factor w 2 , el coeficiente de la pendiente y
su error estándar se multiplican por el factor (1/w 2 ), pero el coeficiente del intercepto y su error
estándar permanecen inalterados.
Sin embargo, debe observarse que la transformación de la escala (Y, X) a la escala (Y ∗ , X ∗ ) no
afecta las propiedades de los estimadores de MCO analizadas en los capítulos anteriores.
EJEMPLO 6.2
Relación entre la
IDPB y el PIB,
Estados Unidos,
1990-2005
Para demostrar los resultados teóricos anteriores, consideremos de nuevo los datos presentados
en la tabla 6.2 y examinemos los siguientes resultados (las cifras entre paréntesis son los errores
estándar estimados).
Si las escalas de la IDPB y del PIB están en miles de millones de dólares:
IDPB t −926.090 + 0.2535 PIB t
ee (116.358) (0.0129) r 2 0.9648 (6.2.21)
Si las escalas de la IDPB y del PIB están en millones de dólares:
IDPB t −926 090 + 0.2535 PIB t
ee (116.358) (0.0129) r 2 0.9648 (6.2.22)
Observe que el intercepto, lo mismo que su error estándar, es 1 000 veces los valores correspondientes
de la regresión (6.2.21) (observe que w 1 = 1 000 al pasar de miles de millones a millones
de dólares), pero el coeficiente de la pendiente, al igual que su error estándar, permanecen sin
cambio, como lo afirma la teoría.
La IDPB en miles de millones de dólares y el PIB en millones de dólares:
IDPB t −926.090 + 0.0002535 PIB t
ee (116.358) (0.0000129) r 2 0.9648 (6.2.23)
Como se esperaba, el coeficiente de la pendiente, al igual que su error estándar, es (1/1 000)
de su valor en (6.2.21), pues sólo se modificó la escala de X, es decir, del PIB.
La IDPB en millones de dólares y el PIB en miles de millones de dólares:
IDPB t −926 090 + 253.524 PIB t
ee (116 358.7) (12.9465) r 2 0.9648 (6.2.24)