Econometria - Damodar N. Gujarati (1)

522 Parte Dos Flexibilización de los supuestos del modelo clásico
13A.4 Prueba de la ecuación (13.6.2)
Como no hay término de intercepto en el modelo, la estimación para α, de acuerdo con la fórmula para la
regresión a través del origen, es como sigue:
X i Y i
ˆα
Xi
2
Al sustituir por Y del verdadero modelo (13.2.8), obtenemos
X i (β X i u i )
ˆα
Xi
2 β
La teoría estadística muestra que si ln u i ∼ N(0, σ 2 ), entonces
u i log normal e σ 2 /2 , e σ 2
X 2 i u i
X 2 i
e σ 2 −1
(1)
(2)
(3)
Por tanto,
⎛ ⎞
E( ˆα) β E⎝
X i 2u i
⎠
Xi
2
⎛
X1 2
β⎝E
u 1 + X2 2u 2 +···+Xn 2u n
⎛
βe σ 2 /2⎝
X i
2
Xi
2
⎞
X 2 i
⎠ βe σ 2 /2
⎞
⎠
donde se aprovecha que las X son no estadísticas y cada u i tiene un valor esperado de e σ 2 /2 .
Como E( ˆα) β, ˆα es un estimador sesgado de β.