Econometria - Damodar N. Gujarati (1)

Capítulo 7 Análisis de regresión múltiple: el problema de estimación 197
Para obtener R 2 , podemos seguir el procedimiento para obtener r 2 descrito en la sección 3.5.
Recuerde que
Y i ˆβ 1 + ˆβ 2 X 2i + ˆβ 3 X 3i +û i
Ŷ i +û i
(7.5.1)
donde Ŷ i es el valor estimado de Y i a partir de la línea de regresión ajustada y es un estimador de
la verdadera E(Y i | X 2i , X 3i ). Al sustituir las letras mayúsculas por minúsculas para indicar desviaciones
de sus medias, la ecuación (7.5.1) se escribe como
y i ˆβ 2 x 2i + ˆβ 3 x 3i +û i
ŷ i +û i
(7.5.2)
Elevamos al cuadrado (7.5.2) en ambos lados y sumamos sobre los valores muestrales para obtener
y 2 i ŷ 2 i + û 2 i + 2 ŷ i û i
ŷ 2 i + û 2 i (¿Por qué?)
(7.5.3)
En palabras, la ecuación (7.5.3) afirma que la suma de cuadrados total (STC) es igual a la suma
de cuadrados explicada (SCE) + la suma de cuadrados de residuos (SCR). Ahora, sustituimos el
equivalente de dado en la ecuación (7.4.19) y obtenemos
û 2 i
y 2 i ŷ 2 i + y 2 i − ˆβ 2 y i x 2i − ˆβ 3 y i x 3i
la cual, al reordenar términos, da
SCE ŷ 2 i ˆβ 2 y i x 2i + ˆβ 3 y i x 3i (7.5.4)
Ahora, por definición,
R 2 SCE
SCT
ˆβ 2 y i x 2i + ˆβ 3 y i x 3i
yi
2
(7.5.5) 9
[Compare (7.5.5) con (3.5.6).]
Como las cantidades consideradas en (7.5.5) suelen calcularse de forma rutinaria, R 2 se calcula
sin problemas. Observe que R 2 , al igual que r 2 , se encuentra entre 0 y 1. Si es 1, la línea de
regresión ajustada explica 100% de la variación en Y. Por otra parte, si es 0, el modelo no explica
nada de la variación en Y. Sin embargo, por lo general R 2 se encuentra entre estos dos valores
extremos. Se dice que el ajuste del modelo es “mejor” entre más cerca esté R 2 de 1.
9
Observe que R 2 también se calcula de la siguiente manera:
R 2 1 − RSS
TSS 1 −
ûi
2 yi
2
1 −
(n − 3) ˆσ 2
(n − 1)S 2 y