Econometria - Damodar N. Gujarati (1)

870 Apéndice C Método matricial para el modelo de regresión lineal
Así,
r 12 − r 13 r 23
r 12.3
1 − r13 2 1 − r23
2
igual a la obtenida en el capítulo 7.
Con la siguiente matriz de correlación:
R
Y X
⎡ 2 X 3 X 4 X 5
⎤
Y 1 0.44 −0.34 −0.31 −0.14
X 2 1 0.25 −0.19 −0.35
X 3 ⎢
1 0.44 0.33
⎥
X 4
⎣
1 0.85 ⎦
X 5 1
Encuentre lo siguiente:
a) r 1 2.3 4 5 b) r 1 2.3 4 c) r 1 2.3
d) r 1 3.2 4 5 e) r 1 3.2 4 f ) r 1 3.2
C.5. Forma de expresar coefi cientes de regresión de orden superior en términos de coefi cientes
de regresión de orden inferior. Un coeficiente de regresión de orden p se expresa en
términos de un coeficiente de regresión de orden p − 1 mediante la siguiente fórmula de
reducción:
Así,
ˆβ 12.345...p ˆβ 12.345...( p−1) − ˆβ 1p.345...( p−1) ˆβ p2.345...( p−1)
1 − ˆβ 2p.345...( p−1) ˆβ p2.345...( p−1)
ˆβ 12.3 ˆβ 12 − ˆβ 13 ˆβ 32
1 − ˆβ 23 ˆβ 32
donde β 12.3 es el coeficiente de la pendiente en la regresión de y sobre X 2 si X 3 se mantiene
constante. En forma similar, β 12.34 es el coeficiente de la pendiente en la regresión de Y
sobre X 2 si se mantienen constantes X 3 y X 4 , y así sucesivamente.
Con la fórmula anterior, encuentre expresiones para los siguientes coeficientes de
regresión en términos de coeficientes de regresión de orden menor: ˆβ 12.3456 , ˆβ 12.345 y
ˆβ 12.34 .
C.6. Establezca la siguiente identidad:
ˆβ 12.3 ˆβ 23.1 ˆβ 31.2 r 12.3 r 23.1 r 31.2
C.7. Para la matriz de correlación R de (C.10.20), encuentre todos los coeficientes de correlación
parcial de primer orden.
C.8. Al estudiar la variación en las tasas de criminalidad en algunas ciudades grandes de Estados
Unidos, Ogburn obtuvo la siguiente información:*
Ȳ 19.9 S 1 7.9
¯X 2 49.2 S 2 1.3
¯X 3 10.2 S 3 4.6 R
¯X 4 481.4 S 4 74.4
¯X 5 41.6 S 5 10.8
Y X
⎡ 2 X 3 X 4 X 5
⎤
Y 1 0.44 −0.34 −0.31 −0.14
X 2 1 0.25 −0.19 −0.35
X 3 ⎢
1 0.44 0.33
⎥
X 4
⎣
1 0.85 ⎦
X 5 1
* W.F. Ogburn, “Factors in the Variation of Crime among Cities”, Journal of American Statistical Association,
vol. 30, 1935, p. 12.