Econometria - Damodar N. Gujarati (1)

Capítulo 13 Creación de modelos econométricos: especifi cación del modelo y pruebas de diagnóstico 521
Al sustituir para y i de (3) en (5) y simplificar, obtenemos
x 2 x 3 x2 2 − x 2 x 3 x2
2
E( ˆα 3 ) β 2
x2 2 x3 2 − x 2
2x 3
(6)
0
el cual es su valor en el verdadero modelo, pues X 3 está ausente de dicho modelo.
13A.3 Prueba de la ecuación (13.5.10)
Tenemos
Y α + β Xi ∗ + u i (1)
X i Xi ∗ + w i (2)
Por consiguiente, en la forma de desviación, obtenemos
y i βxi ∗ + (u i −ū) (3)
x i xi ∗ + (w i −¯w) (4)
Ahora, cuando utilizamos
Y i α + β X i + u i (5)
obtenemos
ˆβ
yx
x 2
[βx∗ + (u −ū)][x ∗ + (w −¯w)]
[x ∗ + (w −¯w)] 2 con (3) y (4)
β x∗2 + β x ∗ (w −¯w) + x ∗ (u −ū) + (u −ū)(w −¯w)
x ∗2 + 2 x ∗ (w −¯w) + (w −¯w) 2
Como no podemos tomar la esperanza de esta expresión porque la esperanza de la razón de dos variables
no es igual a la razón de sus esperanzas (nota: el operador de esperanzas E es un operador lineal), primero
dividimos cada término del numerador y del denominador entre n y obtenemos la probabilidad del límite,
plím (véanse los detalles de plím en el apéndice A), de
ˆβ (1/n) β x∗2 + β x ∗ (w −¯w) + x ∗ (u −ū) + (u −ū)(w −¯w)
(1/n) x ∗2 + 2 x ∗ (w −¯w) + (w −¯w) 2
Ahora, la probabilidad del límite de la razón de dos variables es la razón de sus probabilidades del límite. Al
aplicar esta regla y tomar el plím de cada término, obtenemos
plím ˆβ
βσ2 X ∗
σX 2 ∗ + σ w
2
donde σX 2 ∗ y σ w 2 son las varianzas de X ∗ y w a medida que el tamaño de la muestra aumenta indefinidamente
y donde aprovechamos que, a medida que el tamaño de la muestra aumenta indefinidamente, no hay
correlación entre los errores u y w ni entre ellos y la verdadera X ∗ . De la expresión anterior, finalmente
obtenemos
⎡
⎤
plím ˆβ β ⎣
1
⎦
1 + σw 2 σ X 2 ∗
que es el resultado requerido.