Econometria - Damodar N. Gujarati (1)

Capítulo 6 Extensiones del modelo de regresión lineal con dos variables 185
Es decir, el logaritmo de la razón de A a B es la diferencia entre los logaritmos de A y B.
3. ln(A ± B) ̸ ln A ± ln B (24)
Es decir, el logaritmo de la suma o diferencia de A y B no es igual a la suma o diferencia de sus logaritmos.
4. ln (A k ) = k ln A (25)
Es decir, el logaritmo de A elevado a la potencia k es k veces el logaritmo de A.
5. ln e = 1 (26)
Esto es, el logaritmo de e base e es 1 (lo mismo que el log de 10 base 10).
6. ln 1 = 0 (27)
Es decir, el logaritmo natural del número 1 es cero (al igual que el logaritmo común del número 1).
7. Si Y = ln X,
dY
dX 1 X
(28)
Esto es, la tasa de cambio (es decir, la derivada) de Y respecto de X es 1 sobre X. Las funciones exponencial
y logarítmica (natural) se muestran en la figura 6A.1.
Aunque el número cuyo logaritmo se toma es siempre positivo, el logaritmo de dicho número puede ser
positivo o negativo. Se comprueba fácilmente que si
0 < Y < 1 entonces ln Y < 0
Y 1 entonces ln Y 0
Y > 1 entonces ln Y > 0
Además, observe que, aunque la curva logarítmica que se ilustra en la figura 6A.1b) se inclina positivamente,
lo que implica que cuanto más grande sea el número mayor será también el valor logarítmico, la
curva se incrementa con una tasa decreciente (en matemáticas, la segunda derivada de la función es negativa).
Así, ln(10) = 2.3026 (aproximadamente) y ln(20) = 2.9957 (aproximadamente). Esto es, si un número
se duplica, su logaritmo no aumenta al doble.
Por esta razón, la transformación logarítmica se llama transformación no lineal. Esto también se aprecia
en la ecuación (28), que indica que si Y = ln X, dY/dX = 1/X. Esto significa que la pendiente de la función
logarítmica depende del valor de X; es decir, no es constante (recuerde la definición de linealidad en la
variable).
d(ln X)
dX
Logaritmos y porcentajes: Como 1 X o d(ln X) d X X
, para cambios muy pequeños, el cambio
en ln X es igual al cambio relativo o proporcional en X. En la práctica, si el cambio en X es razonablemente
pequeño, la relación anterior se escribe como el cambio en ln X ≈ al cambio relativo en X, donde ≈ significa
aproximadamente igual.
FIGURA 6A.1
Funciones exponencial y
logarítmica: a) función
exponencial; b) función
logarítmica.
Y
X = ln Y
Y = e X 45°
1
X = ln Y
45°
X
0 0
1
Y
a)
b)