Econometria - Damodar N. Gujarati (1)

Capítulo 3 Modelo de regresión con dos variables: problema de estimación 75
FIGURA 3.9
Partición de la variación
de Y i en dos componentes.
Y
u i = debido al residuo
Y i
FRM
B β 1 + Bβ
2 X i
(Y i –Y) = total
Y i
(Y i –Y) = debido a la regresión
Y
0 X i
X
(SCE). û 2 i
la variación residual o no explicada de los valores de Y alrededor de la línea de
regresión, o sólo la suma de cuadrados de los residuos (SCR). Así, (3.5.2) es
SCT SCE + SCR (3.5.3)
y muestra que la variación total en los valores Y observados alrededor del valor de su media
puede dividirse en dos partes, una atribuible a la línea de regresión y la otra a fuerzas aleatorias,
pues no todas las observaciones Y caen sobre la línea ajustada. Geométricamente, tenemos
la figura 3.9.
Ahora, al dividir la ecuación (3.5.3) entre la SCT en ambos lados, se obtiene
Ahora, definimos r 2 como
1 SCE
SCT + SCR
SCT
(Ŷ i − Ȳ ) 2
(Y i − Ȳ ) 2 + û 2 i
(Y i − Ȳ ) 2 (3.5.4)
r 2 (Ŷ i − Ȳ ) 2
(Y i − Ȳ ) SCE
2 SCT
(3.5.5)
o también como
r 2 1 −
1 − SCR
SCT
û 2 i
(Y i − Ȳ ) 2
(3.5.5a)
La cantidad r 2 así definida se conoce como coeficiente de determinación (muestral), y es la
medida más común de la bondad del ajuste de una línea de regresión. Verbalmente, r 2 mide la
proporción o el porcentaje de la variación total en Y explicada por el modelo de regresión.