Econometria - Damodar N. Gujarati (1)

Apéndice C Método matricial para el modelo de regresión lineal 857
En los modelos de regresión lineal con dos y tres variables, un estimador insesgado de σ 2
estaba dado por ˆσ 2 ûi 2/(n − 2) y ˆσ 2 ûi 2 /(n − 3), respectivamente. En el caso de k variables,
la fórmula correspondiente es
ˆσ 2
û 2 i
n − k
û û
n − k
(C.3.14)
donde ahora hay n − k gl. (¿Por qué?)
Aunque, en principio, û ′ û se calcula a partir de los residuos estimados, en la práctica se obtiene
directamente de la siguiente manera. Recuerde que ûi 2 ( SCR) SCT − SCE, y en el
caso de dos variables podemos escribir
ûi 2 yi 2 − ˆβ 2 2 xi 2 (3.3.6)
y en el caso de tres variables
ûi 2 yi 2 − ˆβ 2 y i x 2i − ˆβ 3 y i x 3i (7.4.19)
Al extender este principio, se ve que para el modelo de k variables
ûi 2 yi 2 − ˆβ 2 y i x 2i −···− ˆβ k y i x ki (C.3.15)
En notación matricial,
SCT: yi 2 yy− nȲ 2
(C.3.16)
SCE: ˆβ 2 y i x 2i +···+ ˆβ k y i x ki ˆβ Xy− nȲ 2 (C.3.17)
donde el término Ȳ 2 se conoce como corrección para la media. 6 Por consiguiente,
û û yy− ˆβ Xy
(C.3.18)
Una vez obtenida û ′ û, ˆσ 2 se calcula fácilmente de (C.3.14), lo cual, a su vez, permite estimar la
matriz de varianza-covarianza (C.3.13).
Para nuestro ejemplo ilustrativo,
û û 132 100 − [24.4545 0.5091]
337.373
1 110
205 500
Por tanto, ˆσ 2 (337.273/8) 42.1591, que es aproximadamente el valor obtenido ya en el
capítulo 3.
6
Nota: yi 2 (Y i − Ȳ ) 2 Yi
2 − nȲ 2 yy− nȲ 2 . Por consiguiente, sin el término de corrección, y ′ y
dará tan sólo la suma sencilla de cuadrados, no la suma de las desviaciones al cuadrado.