VERS UNE MEMOIRE QUANTIQUE AVEC DES IONS PIEGES

tel-00430795, version 1 - 9 Nov 2009
1.1. INFORMATION ET MÉMOIRE QUANTIQUE 17
classiques : la factorisation des grands nombres et la recherche de logarithmes discrets 4 .
Pour n’aborder que le premier point, la grande difficulté à décomposer un nombre N réside
dans la détermination de couples (a, r) vérifiant a r = 1 mod N 5 . C’est pour cette partie du
calcul —la recherche de période— que Shor fait appel à un ordinateur quantique qu’il définit
comme :
– un ensemble de 2q systèmes quantiques à 2 niveaux (q > log2(N) dans le cas général) ;
– un ensemble universel de portes logiques avec lequel tout opérateur unitaire agissant
sur l’ensemble peut être construit ;
Il introduit notamment les opérateurs d’élévation au carré et de transformée de Fourier
discrète qui sont de complexité polynomiale. S’étant donné un nombre a arbitraire, il génère
l’état superposé
N
|p〉|f(p)〉 avec f(p) = ap mod N.
p=1
Comme p f(p) sont inférieurs à N, ils s’écrivent en binaire avec au plus log2(N) chiffres. q
systèmes quantiques suffisent donc pour écrire ces deux nombres. De même pour f(p) < N.
On calcule la transformée de Fourier de cet état que l’on projette ensuite. Le résultat trouvé
donne le nombre r avec une probabilité d’autant plus forte que q ≫ r.
La complexité de l’algorithme est polynomiale, le rendant bien plus performant que tout
équivalent classique. La spécificité quantique à l’origine de cette performance est la possibilité
de mettre chacun des systèmes élémentaires dans une superposition de ses deux états.
On appelle cette unité d’information bit quantique ou qubit par analogie au bit classique.
Cet algorithme a été mis en oeuvre expérimentalement [23] pour factoriser N = 15. Cela
correspond à un paramètre q > 4 et donc l’emploi de 8 qubits pour porter le calcul. Dans la
pratique 6 sont suffisants car les valeurs possibles du paramètre r étant ici soit 2 soit 4, les
termes f(p) = a p mod N peuvent se coder sur 2 qubits seulement (finalement on recense 4
qubits pour coder |p〉 et 2 pour |f(p)〉). Dans l’expérience 7 qubits ont été utilisés, il s’agit des
spins nucléaires de 7 atomes (5 atomes de fluor et 2 atomes de carbone) d’une grande molécule
organique, dont les états sont individuellement contrôlables par des impulsions micro-onde
par résonance magnétique nucléaire. La cohérence de l’ensemble a été maintenue pendant
720 ms, un temps suffisamment long pour déterminer les couples (a, r) : (11,2) et (7,4) 6 . Il
s’agit du premier ordinateur quantique à 7 qubits.
D’autres supports physiques ont été proposés pour réaliser ce nouveau type de calculateur
parmi lesquels ions piégés [24], atomes en cavité [25] [26], boites quantiques [27], jonctions
4 La recherche de logarithmes discrets, consiste, étant donnés x et b à trouver le plus petit entier n
vérifiant x = b n (et en notation abusive n = logb(x)). Si la détermination de n peut être de complexité
exponentielle pour certains b, l’opération inverse —calculer b n — est simplissime. C’est aussi le cas
pour la factorisation des nombres premiers et ces asymétries sont mises à profit en cryptographie
pour l’exemple des logarithmes, l’échange de clef de Diffie-Hellman, et pour l’exemple des nombres
premiers, le protocole RSA
5 Si l’on détermine un tel couple dont le facteur r est pair, on peut écrire a r = 1 mod N sous la
forme (a r/2 − 1)(a r/2 + 1) = pN où p est un entier. Si p est différent de zéro, alors les termes (a r/2 + 1)
et (a r/2 − 1) ont un diviseur commun avec N strictement supérieur à 1, et la factorisation est presque
trouvée.
6 N = 15. Pour le couple (11,2), on obtient : 11 2 = 121 = 15 × 8 + 1, ce qui s’écrit encore
12 × 10 = 15 × 8, et on a P GCD(12, 15) = 3 et P GCD(10, 15) = 5, on trouve ainsi que 15 = 3 × 5.
Pour le couple (7,4) 7 4 = 2401 = 160×15+1 soit encore 48×50 = 160×15 et on a P GCD(48, 15) = 3
et P GCD(50, 15) = 5, aboutissant à nouveau à 15 = 3 × 5.