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z (m)
(4.3)
avec l’opérateur de la moyenne d’ensemble. Cette fonction est comprise entre 1 et 1.
Lorsque les points sont confondus ( = 0), la fonction d’autocorrélation est égale à 1. Si
augmente, les points sont de moins en moins corrélés et
. L’allure de la
décroissance de la fonction d’autocorrélation dépend du type de surface. On appelle longueur
de corrélation la distance minimale entre deux points pour laquelle ils sont considérés
comme statistiquement indépendants. Elle est définie par :
(4.4)
Lorsque la rugosité de surface est faible, la fonction d’autocorrélation peut être
modélisée par une exponentielle (Eq. 4.5). A l’inverse, pour les sols rugueux, elle a plutôt
l'allure d'une gaussienne (Eq. 4.6). Ces fonctions sont très souvent utilisées pour modéliser la
diffusion du rayonnement électromagnétique par les surfaces naturelles (Oh et al., 1994 ; Zribi
et al., 2000, 2005).
(4.5)
(4.6)
La Figure 4.5 illustre l'ajustement d'une courbe expérimentale par ces deux modèles,
pour une longueur de corrélation = 14 cm.
3
2
1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
N
(Ng )
(Ne )
0
-1
-2
N
()
0.5
0.4
e -1
0.3
0.2
-3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Distance (m)
0.1
L c
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
(m)
Figure 4.5. A gauche : profil de rugosité d’une surface quelconque. A droite : fonction
d’autocorrélation ( ) correspondante et modèles d’ajustement gaussien ( ) et exponentiel ( ).
L c
99