THÈSE - Recherche - IGN

L'indice de tortuosité permet de quantifier l’écart entre un profil irrégulier et un profil
linéaire. Il augmente donc avec la rugosité du sol. Il a l’avantage d’être facile à calculer.
4.2.2.5 Dimension fractale
La dimension fractale est un paramètre mesurant le degré d’irrégularité de la surface
en fonction de l’échelle de mesure. Il n’existe pas de définition rigoureuse et formelle des
fractales 1 . Une fractale peut être définie comme un objet irrégulier présentant des structures
répétitives à toutes les échelles d’observation, mais qui n'est pas décrit par la géométrie
euclidienne en raison de l’infinité de ses détails. Une structure fractale possède des propriétés
d’autosimilarité et d’invariance d’échelle. L'exemple le plus classique est donné par le trait de
côte d'un pays, dont la longueur augmente au fur et à mesure que l’échelle de mesure diminue.
Cette approche a été très vite adoptée pour décrire la rugosité de surface (Pachevsky et al.,
1997 ; Franceschetti et al., 2000 ; Shepard et al., 2001 ; Vidal-Vazquez et al., 2005). Plusieurs
méthodes ont été proposées pour caractériser la dimension fractale d’un profil linéaire (semivariogramme,
« box-counting », spectre de puissance, etc.). Nous présentons ici la méthode
décrite par Malinverno (1990). La détermination de la dimension fractale est basée sur
l’estimation d’une loi de puissance faisant intervenir l’écart-type moyen des hauteurs
calculée pour différentes échelles de longueur :
(4.9)
avec une constante et un paramètre d’échelle appelé exposant de Hurst (0≤ ≤1). L’écart
type des hauteurs est défini par :
(4.10)
où correspond au nombre d’intervalles de longueur , est le nombre de points dans la i e
fenêtre , représente la hauteur résiduelle au point et la moyenne des hauteurs.
Afin de s’affranchir de l’effet de la pente locale dans chaque intervalle (detrending), une
droite de régression est estimée par moindres carrés sur chaque intervalle et soustraite aux
profils. Cette correction nous permet d’obtenir une moyenne des hauteurs nulle. Les écarttypes
sont ensuite calculés pour chaque sous-ensemble. La première valeur de est fixée à
20% de la longueur totale du profil et sa longueur décroît d’un facteur 0,9 entre deux calculs,
jusqu'à l'obtention d'un intervalle contenant au moins 10 points de mesures. Enfin les fenêtres
1 Le terme fractal vient du latin « fractus » qui signifie fractionné à l’infini.
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