SERWIS ELEKTRONIKI

Co to s¹ okna w technice cyfrowego przetwarzania sygna³ów
Co to s¹ okna w technice cyfrowego przetwarzania sygna³ów
Karol Œwierc
W technice cyfrowego przetwarzania sygna³ów czêsto zachodzi
potrzeba znalezienia widma przebiegu dla którego znana
jest jego postaæ czasowa. S³owo „czêsto” to ma³o powiedziane.
To nagminnie stosowana operacja, i nie tylko wtedy
gdy samo widmo nas interesuje. Poszukiwanie korelacji wzajemnej
funkcji, autokorelacji, gêstoœci widmowej mocy sygna-
³u, to wszystko procesy wymagaj¹ce obliczania transformaty
Fouriera, czyli przejœcia z dziedziny czasu do dziedziny czêstotliwoœci.
Z istoty „przetwarzania cyfrowego” wynika samo
przez siê, ¿e transformata Fouriera obliczana jest na podstawie,
dyskretnych próbek sygna³u. W istocie, procesor sygna-
³owy, jak ka¿dy „mikro”, „mini”, czy „jakiœ makro” procesor
operuje w istocie na liczbach. Operuje na „ci¹gach liczb” odpowiadaj¹cych
kolejnym próbkom badanego czy przetwarzanego
sygna³u. W wy¿ej wypowiedzianej oczywistej prawdzie,
ukryte s¹ dwie inne mniej oczywiste zale¿noœci. W istocie, nie
dokonuje siê nigdy ci¹g³ej, a jedynie dyskretn¹ transformatê
Fouriera oraz, dokonuje siê j¹ na ograniczonej liczbie próbek.
Oba zjawiska prowadz¹ do oczywistej deformacji szukanej
funkcji widma (ca³y czas zak³adamy, ¿e znamy przebieg w
dziedzinie czasu). Zjawisku próbkowania i jego wp³ywu na
(dyskretn¹) reprezentacjê sygna³u analogowego poœwiêcimy
„inn¹ pigu³kê”. Funkcja okna staje siê zaœ oczywista, gdy zdamy
sobie sprawê z ograniczonej iloœci próbek.
A wiêc, badaj¹c jak¹œ funkcjê w technice cyfrowego przetwarzania
sygna³ów, chc¹c nie chc¹c, badamy okreœlony jej
„wycinek”. Przecie¿ nie sposób badaæ funkcjê (przebieg) w
pe³nym jego zakresie czasowym od -∞ do +∞. Konsekwencj¹
tego jest, i¿ badamy przebieg w „oknie prostok¹tnym”. Badamy
w istocie przebieg bêd¹cy iloczynem funkcji która nas interesuje
i przebiegu prostok¹tnego. Oczywiœcie, czym „d³u¿szy
prostok¹t” (czym szersze okno) tym wierniejsze jest przetwarzanie
interesuj¹cego nas sygna³u. Szerokoœæ okna jest z
oczywistych wzglêdów ograniczona iloœci¹ próbek które procesor
sygna³owy jest w stanie przeliczyæ w zadanym (zwykle
rzeczywistym) czasie. Nie tylko szerokoϾ okna, ale i jego
kszta³t nie jest bez znaczenia dla transformaty sygna³u która
zwykle bywa obliczana szybkim algorytmem transformaty
Fouriera FFT. Jak zwykle w ¿yciu, tak i tu wymagany jest kompromis.
Jak wspomniano wy¿ej, najbardziej naturalnym oknem
wydaje siê okno o przebiegu funkcji prostok¹tnej. Okazuje siê
jednak, ¿e to okno najgorsze. Dlaczego?
Najgorszym jest z powodu stosunkowo „wysokich” listków
bocznych jego transmitancji (zafalowañ funkcji sinc, sinx/
x). Skoro tak, niemal od samego pocz¹tku rozkwitu teorii DSP
poszukiwano innych „lepszych” okien. Jest ich wiele i nosz¹
nazwy od nazwisk pomys³odawców: Bartletta, Blackmana,
Dolpha, Hamminga, Hanninga, Kaisera i jeszcze kilka „m¹drych
nazw” (od nazwisk autorów). Okienkowanie funkcji jest
obowi¹zkow¹ operacj¹ w rozpowszechnionych ju¿ standardach
jak MP3, MPEG. Jak siê oka¿e dalej, to od kszta³tu okna (od
jego transformaty) zale¿y wielkoœæ deformacji widma oryginalnego.
Zanim rozwiniemy ten temat, trzeba powiedzieæ, choæ „w
telegraficznym skrócie” co oznaczaj¹ wspomniane wy¿ej „list-
ki”, oraz o jeszcze jednym zjawisku. Otó¿, jednym z efektów
„okienkowania” jest tzw. przeciek. Co to oznacza?
Z podstaw matematyki wiadomo, i¿ funkcje sinus tworz¹
tzw. bazê ortogonaln¹ (pojêcie to ma du¿o wspólnego z rozumieniem
potocznym ortogonalnoœci, jako wzajemna prostopad³oœæ).
Ciekawy to problem, jednak nie czas i miejsce aby
go rozwijaæ. Œcis³y dowód mo¿na zast¹piæ obrazowym stwierdzeniem,
i¿ sinus tylko skojarzony z samym sob¹ daje wartoœci
ró¿ne od zera. Tak jest gdy ca³kowanie (w DFT sumowanie)
odbywa siê w pe³nym przedziale okresowoœci funkcji. W
przeciwnym razie „ortogonalnoœæ zawodzi”. Objawia siê to
zafa³szowaniem widma zwanym przeciekiem. Nazwa jest wymowna,
gdy¿ zjawisko to mo¿na interpretowaæ tak, i¿ energia
przecieka na „nieistniej¹ce” pr¹¿ki (tj. takie które powinny byæ
zerowe). Jest to powa¿ny problem w technice DSP. Jego z³agodzeniu
s³u¿y w³aœnie technika starannego okienkowania
analizowanej funkcji. Móg³by ktoœ zapytaæ, czy nie istnieje
lepszy sposób? Przecie¿ wystarczy odpowiedni dobór szerokoœci
okna najprostszego (prostok¹tnego) aby zjawisko przecieku
nie by³o dokuczliwe. Faktycznie to prawda. Ale jak dobraæ
szerokoœæ okna do sygna³u którego parametrów (na tym
etapie) jeszcze nie znamy? Ta droga postêpowania jest z³udna
i nie realna. Zatem pozostaje staranny dobór kszta³tu okna. Co
do jego d³ugoœci, to nale¿y stwierdziæ, i¿ im szersze okno, to
zawsze lepiej. Jednak o ograniczeniach w tym wzglêdzie ju¿
mówiliœmy. Aby bardziej przybli¿yæ to zjawisko, za³ó¿my dla
uproszczenia, ¿e badany przebieg jest czyst¹ sinusoid¹ (zawiera
tylko jedn¹ harmoniczn¹). Nawet wtedy DFT daje poprawny
wynik tylko wtedy, gdy w „oknie pomiarowym” mieœci siê
pe³na iloœæ sinusoid, to jest kiedy szerokoœæ okna jest wielokrotnoœci¹
okresu badanego przebiegu. Jeœli tak nie jest, czêœæ
energii „przecieka”.
Co to s¹ „listki”? O ile czystej sinusoidzie odpowiada w
dziedzinie czêstotliwoœci pojedynczy pr¹¿ek (tylko ten który
reprezentuje ow¹ funkcjê sinus (czy cos, tu ró¿nica jest jedynie
w fazie), to transformata sinusoidy „ograniczonej w czasie”,
inaczej mówi¹c sinusoidy okienkowanej prostok¹tem nie jest
ju¿ „impulsem Diraca”. To funkcja sinc centrowana wokó³ czêstotliwoœci
naszej sinusoidy. Choæ niniejsze opracowanie traktuje
temat pobie¿nie, powiemy dlaczego, gdy¿ wyjaœnienie jest
proste i krótkie. Funkcja okienkowana oznacza iloczyn funkcji
oryginalnej i kszta³tu (funkcji) okna, w tym przypadku sinus i
prostok¹t. Zatem transformat¹ takiego iloczynu bêdzie splot poszczególnych
transformat (b. krótko o tej „matematycznej operacji”
powiemy dalej). Splot funkcji (dowolnej) z impulsem, jako
szczególny i interesuj¹cy przypadek „przywo³ano” tak¿e w dalszej
czêœci niniejszej „pigu³ki teorii”. W tym przypadku jest nim
funkcja transformaty okna (sinc) centrowana wokó³ „Diraca”.
To obowi¹zuj¹ca zasada w przypadku „wszystkich okien”. Tam
gdzie w transformacie oryginalnej funkcji wystêpowa³y w¹skie
pr¹¿ki, w transformacie funkcji okienkowanej wystêpuj¹ poprzesuwane
transformaty okien.
Funkcja sinc ma b. ³adny kszta³t. Sinc(x) = sin(x)/x. Z tego
wzoru wynika, ¿e to przebieg sinusoidalny modulowany samym
argumentem (funkcji sinus). Pokazano go na rysunku 1.
SERWIS ELEKTRONIKI 10/2007 47