SERWIS ELEKTRONIKI

ga przesuniêciu, i centruje siê wokó³ impulsu, a tak¿e ulega odwróceniu
w skali osi odciêtych (zwykle czasu lub czêstotliwoœci).
Ten prozaiczny fakt ma daleko id¹ce i znane skutki przesuwania
(i odwracania) widm w procesie modulacji.
Wracamy do procesu okienkowania sygna³u. Jak siê okazuje
nie ma okna idealnego, i ka¿de jest kompromisem szerokoœci
„listka g³ównego” i wysokoœci listków bocznych. Ka¿de z wymienionych
na wstêpie okien ma wprawdzie listki boczne „lepsze”
od okna prostok¹tnego, lecz tak¿e ka¿de z nich ma listek
g³ówny szerszy od listka tego dla okna prostok¹tnego. Z tego
wynika b. smutny wniosek. Przeciek w technice DSP mo¿na
minimalizowaæ, lecz nie da siê go zlikwidowaæ. Skoro niniejsza
„pigu³ka” poœwiêcona jest bezpoœrednio oknom, powiedzmy
jeszcze parê s³ów o ich transmitancji (transformacie). Mo¿e
najlepszym by³oby okno którego transformata jest prostok¹tna?
Niestety, nie by³oby ono najlepsze, a co gorsza okno takie
jest nie realizowalne. Na podstawie dualnoœci przekszta³ceñ
Fouriera (wprost i wstecz) nietrudno siê domyœleæ, i¿ postaæ
czasowa takiego okna musia³aby odpowiadaæ funkcji sinc. A
dlaczego funkcja taka jest nie realizowalna? Bo jest nie przyczynowa.
Nie zaczyna siê bowiem od momentu pobudzenia, a
wczeœniej ! Dodajmy jednak, i¿ w cyfrowym przetwarzaniu sygna³ów
fakt ten mimo wszystko nie przekreœla realizacji obliczeñ
dla których dane pochodz¹ z „ujemnego czasu”.
Powiemy teraz jeszcze parê s³ów o powszechnie stosowanych
oknach. Okno trójk¹tne jest splotem prostok¹ta z samym
sob¹. Dlatego odpowiedŸ impulsowa (transformata odwrotna)
okna trójk¹tnego to sinc 2 (pamiêtamy, dla okna prostok¹tnego
to funkcja sinc). Dlaczego sinc 2 jest korzystniejsze od sinc.
Listki boczne funkcji sinc maj¹ amplitudê zawsze mniejsz¹ od
jednoœci. Liczba mniejsza od jednoœci podniesiona do kwadratu
zbli¿a siê bardziej w kierunku zera. St¹d wynika wprost,
¿e listki boczne dla okna trójk¹tnego s¹ ni¿sze ani¿eli dla okna
prostok¹tnego (pokazano to wy¿ej, na rysunku 1c). Okno trójk¹tne
nosi te¿ nazwê Bartletta. Parzen poszed³ dalej t¹ drog¹.
Jego okno splata trójk¹t z samym sob¹, a jego transformata
odpowiada funkcji sinc podniesionej do czwartej potêgi. Hamming,
Hanning i Blackman poszli w kierunku poszukiwania
okna zbli¿onego funkcj¹ do sinusoidy (te okna s¹ w istocie
wa¿on¹ sum¹ sk³adowych kosinusoidalnych; cosinus nie sinus
poniewa¿ to funkcja parzysta, symetryczna). W niniejszym
opracowaniu nie ma miejsca aby szerzej rozpisywaæ siê nad
szczegó³ami w tym zakresie. Jeden wniosek jest wa¿ny. Nie
ma okna idealnego, i ka¿de jest kompromisem szerokoœci listka
g³ównego i wysokoœci listków bocznych. W oknie Hanninga
amplituda listków bocznych maleje znacznie szybciej ani-
¿eli w „bazowym” prostok¹tnym. Listek g³ówny jest jednak
szerszy. Okno Hamminga ma mniej wiêcej tej samej szerokoœci
listek g³ówny co Hanninga. Jednak, ju¿ pierwsze listki boczne
maj¹ amplitudê znacznie ni¿sz¹. Za to, kolejne listki nie
malej¹ ju¿ tak szybko. W oknie Blackmana jest ma³a wysokoœæ
ju¿ pierwszych listków, zaœ kolejne nadal szybko siê obni¿aj¹.
Jednak „coœ za coœ”, listek g³ówny jest najszerszy (spoœród
wy¿ej wymienionych okien). Aby dalej odtajniæ „rzucane”
czêsto w literaturze „m¹dre nazwy” powiedzmy i¿, konstrukcja
tych okien polega na swoistej (starannie wybranej)
superpozycji okien prostych. Transformata Fouriera choæ wydaje
siê skomplikowana matematycznie, jest w istocie operacj¹
liniow¹. Dziêki temu widma sk³adowych s¹ tak¿e tak¹ superpozycj¹.
Koñcz¹c te rozwa¿ania dodajmy, i¿ istniej¹ tak¿e
Co to s¹ okna w technice cyfrowego przetwarzania sygna³ów
tzw. okna parametryczne których w³asnoœci mo¿na elastycznie
kszta³towaæ w zale¿noœci od potrzeb, nie zmienia to jednak
faktu, i¿ zawsze wymagany jest kompromis. Okno Dolpha
minimalizuje szerokoœæ listka g³ównego przy za³o¿eniu okreœlonej
szerokoœci okna (co w praktyce oznacza iloœæ „próbek”
wymaganych do „przeliczenia”). Ograniczenie maksymalnej
wysokoœci listka bocznego prowadzi do efektu „sp³aszczenia”
listków bocznych (kolejne nie malej¹ ju¿ tak szybko). Zatem,
energia widma w paœmie zaporowym jest stosunkowo du¿a.
Okno Kaisera z kolei optymalizuje szerokoœæ listka g³ównego
przy za³o¿eniu procentowego udzia³u energii listków bocznych
w ca³kowitej energii widma.
Dla pe³nego obrazu, jedna kwestia wymaga jeszcze wyjaœnienia.
Z powy¿szego wyjaœnienia powinno byæ jasne, dlaczego
listki boczne „splecionych” dwu okien prostok¹tnych
(to jest okno trójk¹tne) s¹ ni¿sze ani¿eli dla funkcji „przed splecieniem”.
Jednak, dlaczego poszerza siê listek g³ówny? Przecie¿
miejsca zerowe funkcji sinus pozostaj¹ na „dawnych miejscach”.
Wyjaœnienie tego paradoksu tkwi we w³asnoœci splotu
funkcji. Poszerza on dziedzinê funkcji splecionej, tym samym
poszerza siê okno. Chc¹c z powrotem doprowadziæ do wczeœniej
ograniczonej liczby próbek, trzeba je przeskalowaæ. A to
ju¿ skutkuje rozci¹gniêciem transformaty w dziedzinie czêstotliwoœci.
„Wysokoœæ” (amplituda) widma tak¿e ulega zwykle
zmniejszeniu. To z kolei wynika z ograniczenia energii sygna-
³u okienkowanego. Nie ma to jednak istotnego znaczenia.
Wysokoœæ wzglêdna listków siê nie zmienia, jest ona jedynie
funkcj¹ kszta³tu okna.
Z szerokoœci¹ listka g³ównego i wysokoœci¹ listków bocznych
wi¹¿e siê tak¿e tzw. problem rozdzielczoœci czêstotliwoœciowej
i amplitudowej. Jeœli dwie fale le¿¹ b. blisko na osi
czêstotliwoœci nie s¹ rozró¿nialne, gdy¿ gin¹ w obrêbie listka
g³ównego. Jeœli s¹ nawet odleg³e w dziedzinie czêstotliwoœci,
ale ró¿ni¹ siê znacznie w amplitudzie, fala „s³absza” ginie w
„szumach” listków bocznych fali silniejszej. A wiêc, im wê¿szy
jest listek g³ówny widma okna tym lepsza rozdzielczoœæ
czêstotliwoœciowa. Rozdzielczoœæ amplitudowa jest natomiast
tym lepsza, im ni¿sze s¹ zafalowania „oscylacji bocznych widma
okna”. Zatem, chc¹c poprawiæ rozdzielczoœæ czêstotliwoœciow¹,
trzeba wybieraæ szersze okno. W cyfrowym przetwarzaniu
sygna³ów oznacza to wiêksz¹ iloœæ próbek sygna³u które
trzeba „przeliczyæ” w zadanym czasie. Zatem, ograniczeniem
jest tu moc obliczeniowa procesora sygna³owego. Chc¹c
poprawiæ rozdzielczoœæ amplitudow¹ wybiera siê skomplikowane
kszta³ty okien (których transmitancja szybko maleje ze
wzrostem czêstotliwoœci). Z powy¿szych rozwa¿añ wniosek
jest raczej smutny. Nie ma okna idealnego, i wymagany jest
zawsze kompromis. Mimo to, standardy cyfrowej obróbki sygna³u
ju¿ siê zadomowi³y i trafiaj¹ pod strzechy. Wprawdzie
naprawa DVD czy Set-Top-Boxa np. tunera telewizji satelitarnej
nie polega na tym, ¿e wymienimy w nim okno (np. stare
drewniane na plastikowe). O ile jednak przyjemniejsza jest
praca maj¹c œwiadomoœæ „z czym mamy do czynienia”.
Na koniec, dodajmy jeszcze jedno zdanie w temacie który
pozornie odbiega od tematu tu poruszanego. W fizyce kwantowej
znana jest tzw. nieoznaczonoœæ Heisenberga. Ta „tajemna”
zale¿noœæ jest niczym innym, jak konsekwencj¹ falowych
w³asnoœci materii, i wynika w³aœnie z rozdzielczoœci czêstotliwoœciowej
i amplitudowej „paczki falowej”. Niestety, w fizyce
nie ma odpowiedników „okien”. }
SERWIS ELEKTRONIKI 10/2007 49