pakiet ECTS - Matema.. - Uniwersytet Szczeciński

Nazwa przedmiotuRachunek różniczkowy icałkowy IRodzaj zajęćwykłady/konwersatoriaKod przedmiotu11.1II17.B02Liczba godzin w tygodniu2/2 , 3/3SemestrI, IILiczba punktów ECTS18Prowadzący:dr hab. prof. US Ivan Marchenko.Status przedmiotu w programie studiów:Przedmiot podstawowy.Opis przedmiotu:Zbiory liczbowe: oznaczenia, zbiór liczb naturalnych i zasada indukcji matematycznej, zbiór liczbrzeczywistych i oś liczbowa, podzbiory ograniczone zbioru liczb rzeczywistych, kres górny i dolnyzbioru. Wartość bezwzględna i otoczenie punktu na osi liczbowej. Ciągi liczbowe: definicja ciągunieskończonego, ciągi monotoniczne i ograniczone, granica i zbieżność ciągu, własności algebraicznei porządkowe ciągów zbieżnych, podciągi i twierdzenie Bolzano-Weierstrassa, ciągi Cauchy’ego,zupełność zbioru liczb rzeczywistych, granice niewłaściwe, granice dolne i górne. Szeregi liczbowe:definicja, zbieżność szeregu liczbowego, szereg geometryczny, warunek Cauchy’ego dla szeregu,warunek konieczny zbieżności szeregu, szereg harmoniczny, szeregi o wyrazach nieujemnych orazkryteria badania ich zbieżności (porównawcze, d’Alamberta, Cauchy’ego, Raabego), zbieżnośćbezwzględna, szeregi naprzemienne i kryterium Leibnitza, kryterium Abela, grupowanie wyrazówszeregu, permutacje wyrazów szeregu, twierdzenie Riemanna, mnożenie szeregów i twierdzenieCauchy’ego. Funkcje: pojęcie funkcja, funkcje monotoniczne i ograniczone, funkcje parzyste,nieparzyste i okresowe, granica funkcji w punkcie, granice jednostronne, ciągłość funkcji w punkcie ina zbiorze, ciągłość funkcji elementarnych, własności funkcji ciągłej na przedziale domkniętym,twierdzenie o ciągłości jednostajnej, twierdzenie Weierstrassa, własność Darboux, funkcjeróżnowartościowe i funkcje odwrotne. Ciągi funkcyjne: definicja, zbieżność punktowa i jednostajna,kryteria zbieżności jednostajnej, warunek Cauchy’ego, twierdzenie o granicy jednostajnej ciągufunkcji ciągłych. Szeregi funkcyjne: zbieżność punktowa i jednostajna, kryteria Weierstrassa iDirichleta. Rachunek różniczkowy: pochodna funkcji w punkcie i na zbiorze, różniczkowalnośćfunkcji, styczna do krzywej, interpretacja geometryczna pochodnej, pochodne funkcji elementarnych iwzory na obliczanie pochodnych, ekstrema funkcji i twierdzenie Fermata, twierdzenie Rolle’a,twierdzenia o wartości średniej Lagrange’a i Cauchy’ego, pochodna a monotoniczność, reguła del’Hôspitala, warunki dostateczne istnienia ekstremum, asymptoty krzywej, różniczkowanie ciągów iszeregów funkcyjnych, pochodne i różniczki wyższych rzędów, wzór Taylora i McLaurina, rozwijaniefunkcji w szereg potęgowy, szeregi potęgowe funkcji elementarnych, warunki dostateczne istnieniaekstremum z użyciem pochodnych wyższych rzędów, wypukłość i punkty przegięcia. Rachunekcałkowy: funkcja pierwotna i całka nieoznaczona, całki nieoznaczone funkcji elementarnych,całkowanie przez części i przez podstawianie, całkowanie funkcji wymiernych, całkowanie funkcjiniewymiernych, całkowanie funkcji trygonometrycznych. Całka Riemanna: określenie i interpretacjageometryczna, kryteria całkowalności funkcji, funkcje całkowalne, własności całki Riemanna,twierdzenia o wartości średniej rachunku całkowego, twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej,zastosowanie całki oznaczonej do obliczania pól figur płaskich, długości krzywych, objętości i pólpowierzchni bocznej brył obrotowych, całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych.Cele:Uzyskanie podstawowej wiedzy z rachunku różniczkowego i całkowego niezbędnej do opanowaniainnych przedmiotów podstawowych oraz przedmiotów kierunkowych.37