Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

Kapitel 2
Mathematischer Hintergrund
In diesem Kapitel möchte ich kurz die grundlegenden mathematischen Ideen darlegen, die Basis
für diese Arbeit sind. Zunächst werde ich die projektive Geometrie als Erweiterung der euklidischen
Geometrie erläutern. Anschließend werden projektive Transformationen beschrieben sowie
Projektionen vom 3-dimensionalen in den 2-dimensionalen Raum und umgekehrt.
2.1 Projektive Geometrie
Anstatt die projektive Geometrie formal zu definieren, möchte ich sie hier als einfache Erweiterung
der bekannten euklidischen Geometrie einführen (nach [HZ04]). Eine formalere Einführung bietet
beispielsweise [BR92].
2.1.1 Uneigentliche Punkte
In der euklidischen 2-dimensionalen Geometrie schneiden sich zwei Geraden immer in einem Punkt
– es sei denn, sie sind parallel. Durch das Aufheben dieser Ausnahme erweitern wir die euklidische
Geometrie zur projektiven Geometrie. Dies geschieht durch das Hinzufügen von Punkten im Unendlichen.
Diese Punkte heißen uneigentliche Punkte. Aus R 2 geht auf diese Weise die projektive
Ebene P 2 hervor.
In P 2 schneiden sich alle Geraden. Parallele Geraden schneiden sich in uneigentlichen Punkten.
Anschaulich kann man sich den P 2 so vorstellen, dass er von einem unendlich großen Kreis umgeben
ist, auf dem die uneigentlichen Punkte liegen. Dieser ”
Kreis“ ist die Gerade im Unendlichen
l ∞ 1 . Analog geht aus dem euklidischen Raum R 3 durch Hinzufügen von uneigentlichen Punkten
der projektive Raum P 3 hervor. Ihn kann man sich so vorstellen, dass er von einer unendlich großen
Sphäre (Kugeloberfläche) umgeben ist, auf dem die uneigentlichen Punkte liegen. Diese ”
Sphäre“
ist die Ebene im Unendlichen Π ∞ . Im P 3 schneiden sich parallele Ebenen in uneigentlichen Linien.
In der projektiven Geometrie werden die uneigentlichen Punkte generell wie alle anderen Punkte
betrachtet (das Konzept der Parallelität gibt es dadurch nicht mehr). Bei Problemen des Computersehens
ist es jedoch, da wir uns mit dem realen Anschauungsraum beschäftigen, manchmal
nötig, sie als Sonderfälle zu behandeln.
1 Die Vorstellung von l ∞ als Kreis darf allerdings nicht zu der falschen Annahme führen, dass eine Gerade diesen
Kreis“ in zwei gegenüberliegenden Punkten schneidet. Tatsächlich schneidet jede Gerade l∞ in genau einem Punkt,
”
der durch die Richtung der Gerade bestimmt wird. Die beiden gegenüberliegenden“ Schnittpunkte einer Gerade
”
mit dem gedachten Kreis sind identisch.
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