Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG 51
Distanzen genau der Summe der quadrierten Differenzen der einzelnen Koordinaten entspricht.
Die Jacobi-Matrix J berechnen wir numerisch. Ihre Spalten bestehen aus partiellen Ableitungen
∂f
∂p i
die numerisch berechnet werden durch
f(p) − f(p ′ i)
δ
mit δ ∈ R, δ sollte in der Größenordnung 10 −4 bewählt werden. p ′ i geht aus p hervor, indem
der i-te Parameter um δ auf p ′ i = p i + δ erhöht wird. Die Einträge der Jacobi-Matrix, die auf die
Projektionen nicht sichtbarer Raumpunkte bezogen sind, werden auf Null gesetzt.
Somit können wir Gleichung (8.13) aufstellen, nach ∆ lösen und damit den Levenberg-Marquardt-
Algorithmus anwenden. Diese Berechnung ist jedoch aufgrund der großen Jacobi-Matrix J sehr
aufwändig.
8.2.3 Eine schnelle Variante des Levenberg-Marquardt-Algorithmus für
das Bundle Adjustment
Der in Abschnitt 8.2.2 vorgestellte Algorithmus soll nun so modifiziert werden, dass er in akzeptabler
Laufzeit ausgeführt werden kann. Dies wird dadurch möglich, dass die Jacobi-Matrix eine
spärlich besetzte Matrix ist und wir das ausnutzen können.
Im Folgenden sei x unser Zielvektor, also der Vektor der gemessenen Bildpunkte, und ˆx = f(p) sei
der Vektor der aus den Parametern berechneten Bildpunkte. x und ˆx sind also zusammengesetzt
aus 2 × 1 - Vektoren x ij bzw. ˆx ij , die die gemessenen bzw. berechneten Bildpunkte im j-ten Bild
zum i-ten Raumpunkt repräsentieren. Der Fehlervektor an der Stelle p wird kurz als ɛ bezeichnet
und ist aus Vektoren ɛ ij zusammengesetzt, die die Differenz zwischen x ij und ˆx ij angeben.
Der erste Schritt des Algorithmus liegt in einer Partitionierung der Parameter.
8.2.3.1 Partitionierung der Parameter
Wir partitionieren den Parametervektor p durch p = (a T , b T ) T in zwei Vektoren a und b, so dass
a die Kameraparameter enthält und b die Raumkoordinaten der Punkte. Dadurch partitioniert
sich auch ∆ in ∆ = (∆ T a , ∆ T b )T . Die Jacobi-Matrix J = ∂f
∂p
hat dann die Form J = [ A | B ] mit
und
A = ∂f
∂a
B = ∂f
∂b
Dadurch nimmt Gleichung (8.13) folgende Form an:
[( ) ] ( ) ( )
A T A A T B
∆a A
B T A B T + λI = −
T ɛ
B
∆ b B T ɛ
Dies können wir schreiben als
( ) ( ) ( )
U
∗
W ∆a ɛA
W T V ∗ = −
∆ b ɛ B
(8.14)
mit U = A T A, V = B T B, W = A T B, ɛ A = A T ɛ und ɛ B = B T ɛ. U ∗ und V ∗ gehen aus U und V
hervor, indem ihre diagonalen Einträge mit dem Faktor 1 + λ multipliziert werden.