Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

10 IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG
Genau wie zuvor können wir durch Bedingungen an H die Freiheitsgrade mindern und erhalten spezifische
Klassen von projektiven Transformationen. Eine euklidische Transformation hat beispielsweise
im 3-dimensionalen Raum 6 Freiheitsgrade (3 für die Translation und 3 Rotationswinkel),
eine Ähnlichkeits-Transformation hat mit dem zusätzlichen Skalierungsfaktor 7 Freiheitsgrade. Die
entsprechenden Transformations-Matrizen haben die gleiche Form wie zuvor in (2.4) bzw. (2.5),
nur ist R nun eine 3 × 3 Rotationsmatrix mit 3 Freiheitsgraden und t ein 3 × 1 Translationsvektor
mit ebenfalls 3 Freiheitsgraden.
2.3 Von 3D nach 2D
Wir betrachten nun 2-dimensionale Repräsentationen der 3-dimensionalen Welt, wie sie zum Beispiel
Fotos darstellen. Es sind Projektionen, in der eine Dimension verloren geht. Modelliert wird
dieser Prozess hier durch die Zentralprojektion. Dieses Verfahren beschreibt das Verhalten einer
einfachen Lochkamera. Es approximiert aber auch Kameras mit Linsen oder das menschliche Auge.
Näheres dazu siehe [FP03].
Es wird ein 3D-Punkt als Projektionszentrum C ausgewählt und eine Ebene im Raum als Bildebene
Π. Der Schnittpunkt dieser Bildebene mit einem Strahl, die zwischen einem Raumpunkt und
dem Projektionszentrum verläuft, ist die Projektion dieses Raumpunktes auf Π.
Dieser Prozess entspricht einer Abbildung von P 3 nach P 2 . Eine solche Abbildung kann durch eine
3 × 4 - Matrix P mit Rang 3 dargestellt werden. Diese Matrix heißt Kameramatrix. Sei also X ein
Raumpunkt und P eine Kameramatrix, dann ist
x = P X (2.7)
eine Projektion von X in eine durch P festgelegte Bildebene. X und x sind dabei wieder homogene
Vektoren und so ist auch eine Kameramatrix homogen und hat im Allgemeinen 11 Freiheitsgrade.
Diese 11 Freiheitsgrade können folgendermaßen erklärt werden:
• 3 Freiheitsgrade geben die Position des Projektionszentrums C im Raum an.
• 3 Freiheitsgrade geben die Ausrichtung der Kamera an, das heißt die Lage der Bildebene. Sie
kann durch drei Rotationswinkel bzw. eine Rotationsmatrix R angegeben werden.
• 2 Freiheitsgrade geben die Brennweite und die Skalierung des zweidimensionalen Koordinatensystems
(und damit die Form der nicht zwangsläufig quadratischen Pixel der Kamera)
an. Die Brennweite – und damit der Abstand der Bildebene zum Projektionszentrum – wird
durch einen Parameter f angegeben, die Skalierungen des Koordinatensystems durch 2 Parameter
m x und m y (entsprechend der Anzahl an Pixeln pro Einheitslänge in der jeweiligen
Richtung). Diese Parameter sind aber nicht unabhängig (und entsprechen daher nur 2 Freiheitsgraden)
und werden ersetzt durch zwei Parameter α x = fm x und α y = fm y , welche die
Pixelgröße der jeweiligen Richtung in Bezug zur Brennweite angeben.
• 2 Freiheitsgrade geben die Koordinaten p x und p y in der Bildebene an, an der die optische
Achse (also die Gerade, die senkrecht auf der Bildebene steht und durch C läuft) die Bildebene
schneidet. Auch diese Koordinaten werden in Bezug zur Brennweite f gesetzt und durch
x 0 = fp x und y 0 = fp y angegeben
• 1 Freiheitsgrad, parametrisiert durch s, gibt die Schrägheit zwischen den Koordinatenachsen
der Bildebene an.
Ausführlichere Informationen über die Kameraparameter sind in [FP03] und [HZ04] zu finden.
Position und Ausrichtung werden externe Kameraparameter genannt, die übrigen fünf Parameter
interne Kameraparameter.