Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

52 IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG
Um (8.14) zu lösen, definieren wir eine Matrix Y = W V ∗−1 und multiplizieren links an beide Seiten
von (8.14) die Matrix
( I −Y
)
0 I
und erhalten
( ) ( ) ( )
U ∗ − Y W T 0 ∆a ɛA − Y ɛ
W T V ∗ = −
B
∆ b ɛ B
(8.15)
Die Gleichungen der oberen Zeile aus (8.15) sind nun unabhängig von ∆ b und können geschrieben
werden als
mit
S∆ a = −ɛ A + Y ɛ B (8.16)
S = U ∗ − Y W T
und nach ∆ a aufgelöst werden. Die Gleichungen der unteren Zeile von (8.15) können geschrieben
werden als
W T ∆ a + V ∗ ∆ b = −ɛ B
Wir formen sie um zu
V ∗ ∆ b = −ɛ B − W T ∆ a
und können daraus nach Einsetzen der für ∆ a berechneten Werte auch ∆ b berechnen.
8.2.3.2 Ausnutzen der spärlichen Struktur der Jacobi-Matrix
Das Partitionieren der Daten an sich hat uns noch keinen Vorteil gebracht, eröffnet uns aber
Möglichkeiten, die spärliche Struktur der Jacobi-Matrix auszunutzen.
Die Jacobi-Matrix hat 4n+12m Spalten. Eine Zeile entpricht der Ableitung einer Koordinate eines
projizierten Bildpunktes und ist daher nur von einer Kameramatrix und einem Raumpunkt, also
16 Parametern abhängig. Alle anderen Einträge der Zeile bestehen aus Nullen.
Durch jeden Bildpunkt entsteht ein 2×12-Block mit den Ableitungen nach den Kameraparametern
und ein 2 × 4-Block mit den Ableitungen nach den Koordinaten des zugehörigen Raumpunktes.
Diese Blöcke werden für jeden Bildpunkt berechnet. Wir erhalten also nm Ableitungsmatrizen A ij
für die Kameraparameter durch
A ij = ∂ˆx ij
∂a j
und nm Ableitungsmatrizen B ij für die Raumpunkte durch
B ij = ∂ˆx ij
∂b i
Wir berechnen außerdem durch
ɛ ij = ˆx ij − x ij
zu jedem Bildpunkt einen 2×1-Fehlervektor, der die Abweichung des berechneten zum tatsächlichen
Bildpunkt enthält. Analog zu den Matrizen U, V , W , Y und den Vektoren ɛ A und ɛ B aus Abschnitt
8.2.3.1 berechnen wir nun