Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG 9
2.2 Projektive Transformationen
2.2.1 Projektive Transformationen in 2D
Eine Projektive Transformation im P 2 ist eine Abbildung
h : P 2 → P 2
bei der gilt, dass drei Punkte x 1 , x 2 und x 3 genau dann auf einer Geraden liegen, wenn auch die
drei Punkte h(x 1 ), h(x 2 ) und h(x 3 ) auf einer Geraden liegen.
Diese Definition ist äquivalent zu folgender Aussage:
Eine Abbildung h : P 2 → P 2 ist genau dann eine projektive Transformation, wenn eine
invertierbare 3 × 3 - Matrix H existiert, so dass für jeden Punkt x ∈ P 2 gilt:
h(x) = Hx
wobei x die Darstellung des Punktes durch einen Vektor mit homogenen Koordinaten ist. Ein
Beweis hierzu findet sich in [HZ04].
Aus der Aussage folgt, dass also jede projektive Transformation einfach durch
x ′ = Hx (2.3)
beschrieben werden kann. Da x und x ′ homogene Vektoren sind, ist H eine homogene Matrix, also
hat H acht Freiheitsgrade und alle Matrizen kH mit k ∈ R≠0 beschreiben die gleiche Transformation.
Wenn wir bestimmte Bedingungen an die Form von H stellen (unter Verringerung der Freiheitsgrade),
erhalten wir spezifische Klassen von projektiven Transformationen. Beispielsweise besteht eine
euklidische Transformation aus einer Translation und einer Rotation. Daher hat sie nur 3 Freiheitsgrade
(2 für die Translation und einen Rotationswinkel). Die zughörige Transformationsmatrix hat
die Form
( ) R t
H E =
0 T (2.4)
1
wobei R eine 2 × 2 - Rotationsmatrix ist (ein Freiheitsgrad) und t ein 2 × 1-Translationsvektor
(zwei Freiheitsgrade). 0 ist ein 2 × 1-Vektor aus Nullen.
Eine weitere spezielle Transformation, der wir in dieser Arbeit begegnen werden, ist die
Ähnlichkeits-Transformation. Sie bewirkt gegenüber der euklidischen Transformation zusätzlich
eine Skalierung. Sie kann durch eine Matrix
( ) R t
H S =
0 T λ −1 (2.5)
ausgedrückt werden mit einem Skalierungsfaktor λ ∈ R≠0 . Offensichtlich hat eine Ähnlichkeits-
Transformation 4 Freiheitsgrade.
2.2.2 Projektive Transformationen in 3D
Analog zum 2-dimensionalen Fall kann jede Transformation im P 3 durch eine Transformationsmatrix
H beschrieben werden, so dass
X ′ = HX (2.6)
X und X ′ sind hier homogene 4 × 1 Vektoren und H ist eine homogene 4 × 4 Matrix mit 15 Freiheitsgraden.