Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG 31
Da x ′ auf der Geraden l ′ liegt, gilt analog x ′T l ′ = 0 und mit (6.1)
x ′T F x = 0 (6.4)
Wir sehen also, dass sich durch das Transponieren von F die Rollen von x und x ′ vertauschen.
6.2.1 Eigenschaften der Fundamentalmatrix
Aus den Eigenschaften der Fundmentalmatrix, über die wir sie gerade definiert haben, folgen
weitere Eigenschaften:
• Die Fundamentalmatrix hat Rang 2. Das folgt daraus, dass sie eine lineare Abbildung aus dem
2-dimensionalen projektiven Raum (von einem Punkt x) in den 1-dimensionalen projektiven
Raum (zu einer Epipolarlinie l ′ ) darstellt 1 . Letzteres ist ein 1-dimensionaler Raum, da alle
Epipolarlinien durch den Epipol laufen und daher eine 1-dimensionale Familie von Geraden
darstellen.
Es gilt also det F = 0.
• Da x und x ′ sowie l und l ′ in homogenen Koordinaten dargestellt sind, ist auch die Fundamentalmatrix
homogen. Da durch die Bedingung det F = 0 ein weiterer Freiheitsgrad verloren
geht, hat sie 7 Freiheitsgrade.
• Da alle Epipolarlinien den Epipol enthalten, gilt
e ′T F x = 0 ∀x
Daraus folgt
e ′T F = 0 (6.5)
e ′ spannt also den linken Nullraum von F auf. Analog gilt, dass e den rechten Nullraum von
F aufspannt.
6.2.2 Berechnung der Fundamentalmatrix
Gegeben sind 2 Bilder mit zahlreichen Punktkorrespondenzen. Wir werden zeigen, dass mindestens
7 Korrespondenzen notwendig sind, aber eine höhere Anzahl an Korrespondenzen für ein aussagekräftigeres
Ergebnis sorgen kann.
Wir wollen nun mit Hilfe dieser Korrespondenzen die Fundamentalmatrix berechnen. Grundlage
für diese Berechnung ist die Gleichung (6.4), also
x ′T F x = 0
die für jede Punktkorrespondenz x ↔ x ′ gilt.
Sei nun x = (x, y, 1) und x ′ = (x ′ , y ′ , 1). Dann können wir die Gleichung ausschreiben zu
x ′ xf 11 + x ′ yf 12 + x ′ f 13 + y ′ xf 21 + y ′ yf 22 + y ′ f 23 + xf 31 + yf 32 + f 33 = 0
Für n Punktkorrespondenzen erhalten wir ein Gleichungssystem mit n solcher Gleichungen, das
wir durch
Af = 0
1 Anmerkung: Eine lineare Abbildung P n ↦→ P n kann durch eine homogene Matrix mit Rang n + 1 dargestellt
werden, eine lineare Abbildung P n ↦→ P n−1 durch eine homogene Matrix mit Rang n. Vergleiche Kapitel 2.