Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG 33
die gesuchte Fundamentalmatrix, welche sich auf die ursprünglichen Punktkorrespondenzen
x ↔ x ′ bezieht .
Die Normalisierung hat folgenden Grund, der sie unverzichtbar macht:
Aufgrund von Rauschen, ungenauen Daten und der diskreten Bildauflösung erhalten wir nie
eine absolut korrekte Fundamentalmatrix, sondern lediglich eine Matrix, die möglichst gut
auf unsere Daten passt. Der Fehler, der durch sie entsteht, ist abhängig von der Wahl der
Koordinatensysteme der beiden Bilder, mit deren Punkten sie erstellt wurde. Diese Abhängigkeit
von einer willkürlichen Wahl ist an sich nicht erwünscht und wird durch die Normalisierung
eliminiert. Zudem ist das Koordinatensystem, das durch die Normalisierung erzwungen wird,
besonders geeignet, um zu einem möglichst guten Ergebnis zu führen. Dies wird mit Blick auf
die Matrix A offensichtlich. Würden wir nicht normalisierte Daten benutzen, würden x und y
sowie x ′ und y ′ den ursprünglichen Bildkoordinaten entsprechen und beispielsweise Werte um 100
annehmen. Einige Einträge der Matrix würden somit Werte im Bereich von 10 4 annehmen. Dies
würde zu einer großen Verzerrung in der Bewertung der Fehler führen. Insbesondere hätte die
letzte Koordinate kaum Einfluss auf das Ergebnis der Gleichungen. So würde eine Abweichung in
der letzten Koordinate (z.B. (100, 100, 0.5) statt (100, 100, 1)), die einen erheblichen Unterscheid
bewirkt, völlig unterbewertet.
Durch die Normalisierung ist sichergestellt, dass alle Einträge etwa im gleichen Bereich liegen und
diese Verzerrung vermieden wird.
6.2.2.2 Der 7-Punkt-Algorithmus
Der 7-Punkt-Algorithmus funktioniert nach dem gleichen Prinzip wie der 8-Punkt-Algorithmus.
Wir benutzen jedoch nur 7 Gleichungen und erhalten durch die Singulärwertzerlegung keinen 1-
dimensionalen Lösungsraum, sondern einen 2-dimensionalen Lösungsraum, der durch zwei Vektoren
f 1 und f 2 aufgespannt wird. Wir benutzen nun die Bedingung, dass die Fundamentalmatrix einen
Rang von 2 haben und somit det F = 0 gelten muss. Wir bilden die Matrizen F 1 aus f 1 und F 2 aus
f 2 und suchen dann die Matrix F = αF 1 + (1 − α)F 2 , für die det F = 0 gilt – wir müssen also die
Gleichung
det(αF 1 + (1 − α)F 2 ) = 0
nach α lösen. Dies ist eine kubische Gleichung, wir erhalten also für α bis zu drei mögliche Werte
und daher bis zu drei mögliche Lösungen für die Fundamentalmatrix.
Es ist auch hier mit der gleichen Argumentation notwendig, den Algorithmus auf normalisierten
Daten durchzuführen, wie es in Abschnitt 6.2.2.1 beschrieben ist.
6.2.2.3 RANSAC
Beim 7- und 8-Punkt-Algorithmus werden nur 7 bzw. 8 Korrespondenzen zur Berechnung von
F benutzt. Für diese Korrespondenzen ist die Gleichung x ′T F x = 0 erfüllt. Da im 8-Punkt-
Algorithmus die Matrix im Nachhinein modifiziert wird, um Rang 2 zu erhalten, treten dort
allerdings auch schon bei den benutzten Korrespondenzen Abweichungen auf.
Wir erwarten, dass die Gleichung auch für die anderen, nicht benutzten Korrespondenzen gilt. Bei
perfekten Daten wäre dies der Fall und bei sehr guten Daten sind die Fehler tatsächlich gering.
Im Allgemeinen sind wir aber darauf angewiesen, dass gerade die ausgewählten Korrespondenzen
besonders gut sind. Leider kann beim Tracking nicht garantiert werden, dass alle Korrespondenzen
gut sind – wir müssen auch mit völlig falschen Korrespondenzen rechnen (siehe Abbildung 6.2, in
der die blau gekennzeichneten Korrespondenzen offensichtlich nicht korrekt sind).
RANSAC ist eine im Grunde einfache aber sehr wirksame Methode, um Ausreißer, also fehlerhafte
Korrespondenzen, zu entlarven und eine gute Auswahl an Punkten für den 7- oder