Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

68 IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG
A unterscheiden. Daher setzen wir immer die kleinsten Einträge von D auf 0, da diese bzw. die
zugehörigen Singulärvektoren den geringsten Einfluß auf A haben.
Auf diese Weise erhalten wir eine Matrix A ′ , für die ‖A − A ′ ‖ F
(Frobenius Norm) minimiert wird
unter der Bedingung, dass A ′ den gewünschten Rang hat.
A.1.2
Lösen eines Gleichungssystems mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
Das Lösen eines Gleichungssystems
Ax = 0
folgt direkt aus der zweiten Eigenschaft der Singulärwertzerlegung.
Zunächst müssen wir A erweitern, falls A mehr Spalten als Zeilen hat. In diesem Fall können wir
einfach fehlende Zeilen mit Nullen auffüllen. Anschließend führen wir eine Singulärwertzerlegung
durch. Die Singulärvektoren, deren zugehörige Singulärwerte gleich 0 sind, spannen den Lösungsraum
auf.
Hat die Matrix A vollen Rang, ist die einzige Lösung trivialerweise der Vektor 0. Meistens ist in
diesem Fall jedoch eine Näherung eines 1-dimensionalen Lösungsraums erwünscht. Eine Näherung
daran ist der zum kleinsten Singulärwert gehörende Singulärvektor. Dies lässt sich dadurch
motivieren, dass genau dieser Vektor den Lösungsraum zu A ′ aufspannen würde, wenn A ′ wie in
Abschnitt A.1.1 beschrieben durch Verringern des Ranges aus A hervorgeht. Tatsächlich minimiert
diese Methode ‖Ax‖ unter der Bedingung ‖x‖ = 1
Ein Gleichungssystem der Form Ax = b kann ebenfalls mit Hilfe der SVD gelöst werden,
im überbestimmten Fall in Form einer Abschätzung. Hierzu siehe [HZ04].
A.2 RQ - Zerlegung
Die RQ-Zerlegung ist die Zerlegung einer Matrix A in
wobei
A = RQ
• R eine obere Dreiecksmatrix ist.
• Q eine orthogonale Matrix ist
Analog existiert eine QR-Zerlegung, in der die Matrix in A = QR zerlegt wird, sowie LQ- und
QL-Zerlegungen, in denen die Dreiecksmatrix eine untere Dreiecksmatrix ist. An dieser Stelle
werden wir nur die RQ-Zerlegung betrachten und zwar nur für den Fall, dass A eine 3 × 3 Matrix
ist (dies ist der wichtigste Fall und der einzige, der für diese Arbeit von Belang ist).
Um eine Matrix derart zu zerlegen benutzen wir 3-dimensionale Givens-Rotationen, das
sind Rotationen um eine der Koordinatenachsen. Sie werden durch folgende Matrizen gegeben:
⎛
Q x = ⎝ 1 0 0 ⎞ ⎛
0 c −s ⎠ Q y = ⎝ c 0 s ⎞ ⎛
0 1 0 ⎠ Q z = ⎝ c −s 0 ⎞
s c 0 ⎠
0 s c
−s 0 c
0 0 1
mit c = cos(Θ) und s = sin(Θ) für den Rotationswinkel Θ.
Wird eine Matrix mit einer Givens-Rotationsmatrix multipliziert, bleibt eine Spalte unverändert