Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

50 IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG
8.2.1.4 Levenberg-Marquardt-Algorithmus
Mit dem Levenberg-Marquardt-Algorithmus wird versucht, die Vorteile des Gradientenabstiegs und
des Gauß-Newton-Verfahrens zu verbinden. Die Update-Gleichung im Gradientenabstieg (8.7) mit
(8.6) lässt sich ausdrücken durch
λ∆ = −J T ɛ(p 0 )
In dieser Gleichung bewirkt ein kleines λ eine große Schrittweite, es ist das multiplikative Inverse
des λ aus (8.7). Die Update-Gleichung im Gauß-Newton-Verfahren (8.10) mit (8.6) und (8.12) lässt
sich ausdrücken durch
J T J∆ = −J T ɛ(p 0 )
Beides wird nun kombiniert zu
(J T J + λI)∆ = −J T ɛ(p 0 ) (8.13)
I ist die Identitätsmatrix. Durch den Parameter λ bewegt sich diese Gleichung zwischen einem Gradientenabstieg,
dessen Schrittweite gleichzeitig durch λ bestimmt wird, und dem Gauß-Newton-
Verfahren. Kann der Funktionswert in einem Iterationsschritt nicht vermindert werden, wird λ
erhöht, um in die Nähe des Gradientenabstiegs zu kommen, der für eine ausreichend kleine Schrittweite
eine Verringerung garantiert. Die Schrittweite wird durch Erhöhung von λ gleichzeitig verkleinert.
Nach einem erfolgreichen Iterationsschritt dagegen wird λ gesenkt, um von der schnelleren
Konvergenz des Gauß-Newton-Verfahrens zu profitieren.
Für die Anpassung von λ existieren verschiedene Strategien. Üblich ist z. B. ein Startwert λ = 0.001
und eine Verringerung bzw. Erhöhung jeweils um den Faktor 10.
8.2.2 Anwendung des Levenberg-Marquardt-Algorithmus beim Bundle
Adjustment
Der Levenberg-Marquardt-Algorithmus wurde in Abschnitt 8.2.1 so beschrieben, dass er sich auf
das durch (8.2) gegebene Minimierungsproblem problemlos anwenden lässt. Die Parameter, die
wir anpassen wollen, sind die in einer initialen Rekonstruktion (nach Abschnitt 7.3.2) berechneten
Kameras und Raumpunkte. Im Folgenden bezeichnen wir mit Kameraparameter die berechneten
Einträge der Kameramatrizen und mit Punktparameter die berechneten Koordinaten der Raumpunkte.
Die Anzahl der verwendeten Bilder und damit Kameramatrizen sei m, die Anzahl der
berechneten Raumpunkte n. Wir fassen die Kamera- und Punktparameter in einem Parametervektor
p 0 der Länge 12m + 4n zusammen. Aus den inhomogenen Koordinaten aller gemessener
Bildpunkte erstellen wir den Zielvektor z der Länge 2mn. In z sind zu allen Raumpunkten die
gemessenen Bildpunkte in jedem Bild verzeichnet. Ist ein Raumpunkt in einem Bild nicht sichtbar,
werden die entsprechenden Einträge im Vektor auf Null gesetzt. Wir verwenden im Vektor
der Bildkoordinaten inhomogene Koordinaten, da der Algorithmus ansonsten unter zusätzlichem
Rechenaufwand die Skalierungen der homogenen Bildkoordinaten angleichen würde.
Wir benötigen eine Routine, die aus dem Parametervektor p einen Vektor f(p) berechnet, in dem
die inhomogenen Koordinaten aller aus den Parametern berechneten Bildpunkte stehen, in der gleichen
Reihenfolge wie im Zielvektor z. Diese Routine lässt sich einfach erstellen. Zur Berechnung
eines Bildpunktes werden aus dem Parametervektor die Einträge der entsprechenden Kameramatrix
und die Koordinaten des entsprechenden Raumpunktes gewonnen und durch (2.7) die homogenen
Koordinaten der Projektion berechnet und in inhomogene Koordinaten umgerechnet. Die Bildkoordinaten
eines nicht sichtbaren Raumpunktes werden auch hier auf Null gesetzt.
Damit haben wir die Gleichung (8.3) modelliert und können für die initiale Rekonstruktion (8.4)
und (8.5) einfach berechnen. Die Fehlernorm e(p) aus (8.5) entspricht dann bis auf den konstanten
Faktor 1/2 genau dem Rückprojektionsfehler (8.1), da die Summe der quadrierten euklidischen