Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

30 IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG
(a)
(b)
Abbildung 6.1: Die Geometrie einer Punktkorrespondenz
die Epipolarebene XCC ′ . Siehe hierzu Abbildung 6.1(a).
Eine Epipolarlinie ist die Projektion einer Epipolarebene in die Bilder, also die Schnittgerade
der Epipolarebene mit der jeweiligen Bildebene. Folgende Betrachtung wird für das erste Bild
gemacht, gilt aber für das zweite analog:
Da C ′ in jeder Epipolarebene liegt, liegt dessen Abbildung, der Epipol e, auf jeder Epipolarlinie.
Alle Epipolarlinien schneiden sich also in e.
Wir betrachten nun einen Raumpunkt X. Seine Projektion in das erste Bild sei x = P X.
Π sei die Epipolarebene, die von C, C ′ und X aufgespannt wird. In Abschnitt 2.4 haben wir
gesehen, dass wir zu einem bekannten Punkt x nicht feststellen können, durch welchen Raumpunkt
X er erzeugt wurde. Wir wissen jedoch, dass er auf der Geraden liegt, die von x in den Raum
zurückprojiziert wird. Diese Gerade liegt offensichtlich in Π. Sofern die Gerade nicht der Grundlinie
entspricht, ist die Abbildung der Geraden somit genau die Abbildung von Π im zweiten Bild,
also eine Epipolarlinie. Das heißt also, dass jeder Bildpunkt in einem Bild eine Epipolarlinie im
anderen Bild erzeugt. Siehe hierzu Abbildung 6.1(b).
Diese Abbildung
x ↦→ l ′
wird durch die Fundamentalmatrix repräsentiert.
6.2 Die Fundamentalmatrix
Die Fundamentalmatrix F ist eine 3 × 3 Matrix für die gilt:
und
l ′ = F x (6.1)
l = F T x ′ (6.2)
wobei l die durch x ′ erzeugte Epipolarlinie ist und l ′ die durch x erzeugte Epipolarlinie, x und
x ′ sind korrespondierende Bildpunkte (also Abbildungen desselben Raumpunktes X). Sämtliche
Punkte und Geraden sind durch homogene Koordinaten gegeben. Wir gehen hier davon aus, dass
es eine derartige Matrix gibt. Eine Herleitung findet sich in [HZ04].
Da x auf der Geraden l liegt, gilt wegen (2.1) x T l = 0 und mit (6.2)
x T F T x ′ = 0 (6.3)